《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

【例1】如图24-1-3-2,已知AB是⊙O的直径,弦AC//OD。
(1) 求证：$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{CD}$；
(2) 若$\overset{\frown}{AC}$的度数为58°,求∠AOD的度数。
解题关键 (1) 证明它们所对的圆心角相等；(2) 利用圆心角、弧、弦的关系求解。

答案： 例1.
(1)证明:连接 OC。
∵ OA = OC,
∴ ∠OAC = ∠ACO。
∵ AC // OD,
∴ ∠DOC = ∠ACO,∠OAC = ∠BOD。
∴ ∠BOD = ∠COD,
∴ $\widehat{BD}=\widehat{CD}$。
(2)解:
∵ $\widehat{BD}=\widehat{CD}$,
∴ $\widehat{BD}=\widehat{CD}=\frac{1}{2}\widehat{BC}$,
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$(180° - 58°) = 61°,
∴ ∠AOD = 58° + 61° = 119°。

【例2】如图24-1-3-3,A,B是⊙O上的两点,∠AOB = 120°,C为$\overset{\frown}{AB}$的中点。求证：四边形OACB是菱形。
解题关键 利用点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点得出弧相等,由等弧所对的弦相等、圆心角相等进一步证明OA = AC = BC = OB,从而证得四边形OACB是菱形。

答案： 例2. 证明:
∵ A,B 是⊙O 上的两点,
∴ OA = OB。
∵ C 为$\widehat{AB}$的中点,
∴ $\widehat{AC}=\widehat{BC}$。
∴ ∠AOC = ∠BOC,AC = BC。
∵ ∠AOB = 120°,
∴ ∠AOC = ∠BOC = 60°。
∴ △OAC 和△BOC 都为等边三角形。
∴ OA = AC = BC = OB,
∴ 四边形 OACB 是菱形。