《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

6. 如图24-2-1-6,$A$,$B$,$C$三点表示三个工厂,要建立一个供水站,使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站$P$的位置。(要求尺规作图,写作法)

答案：
解:如图，
　　　　　　
　作法:
(1)作线段AB的垂直平分线l₁;
(2)作线段AC的垂直平分线l₂;
(3)l₁与l₂相交于点P;
(4)点P即为所求作的供水站的位置。

7. 若点$O是等腰三角形ABC$的外心,且$\angle BOC= 90^{\circ}$,底边$BC= 2$,则$\triangle ABC的面积为\underset{\sim}{}$1+\sqrt{2}$或$\sqrt{2}-1$$。

答案： 1+√2或√2 - 1

8. 利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角。

答案： 已知：△ABC。
求证：△ABC中不能有两个角是钝角。
证明：假设△ABC中有两个角是钝角，不妨设∠A＞90°，∠B＞90°。
则∠A+∠B＞180°。
因为三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B=180°-∠C＜180°。
这与∠A+∠B＞180°矛盾。
故假设不成立，原命题得证。

9. 如图24-2-1-7,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2)。
(1) 写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：$(\underset{\sim}${2}$,\underset{\sim}${0})；(2) 判断点D(5,-2)与$\odot M$的位置关系。

(2)圆的半径AM= √(2²+4²)=2√5,线段MD = √((5−2)²+(-2-0)²)= √13＜2√5,所以点D在⊙M内。

答案： 解:
(1)(2,0)　解析:在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2,0)，所以圆心M的坐标为(2,0)。
(2)圆的半径AM= √(2²+4²)=2√5,线段MD = √((5−2)²+2²)= √13＜2√5,所以点D在⊙M内。

10. (直观想象) 如图24-2-1-8,在平面直角坐标系中,点$P的坐标为(5,3)$,过点$P作PA\perp y$轴,垂足为$A$,以点$P$为圆心,$PA$的长为半径作圆,$\odot P与x轴交于B$,$C$两点 ($B点在C$点左侧)。
(1) 求过$A$,$B$,$C$三点的抛物线的解析式；
(2) 设该抛物线的顶点为$M$,$M点关于x轴的对称点为N$,试判断点$M$,$N与\odot P$的位置关系。

答案： 解:
(1)易得A(0,3),B(1,0),C(9,0)。设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−9),把A(0,3)代入可得3=9a,解得a =1/3。
∴抛物线的解析式为y=1/3(x−1)(x−9)=1/3x²−10/3x+3。
(2)
∵y=1/3x²−10/3x+3=1/3(x−5)²−16/3,
∴点M的坐标为(5,−16/3),点N的坐标为(5,16/3)
∵点P的坐标为(5,3)，
∴MP=3+16/3=25/3＞5,
　NP=16/3−3=7/3＜5,
∴点M在⊙P外,点N在⊙P内。