《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

【例1】如图24-1-2-2,$ \odot O $ 的半径为5,弦 $ AB = 8 $,$ P $ 是弦 $ AB $ 上的一个动点(不与 $ A $,$ B $ 重合),则 $ OP $ 的最小值是(B)

A.2.5
B.3
C.3.5
D.4
解题关键 点到直线的距离中,垂线段最短。
当 $ OP \perp AB $ 时,$ OP $ 的长度最短,利用垂径定理和勾股定理进行计算。

答案： B

【例2】如图24-1-2-3,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下水面宽为12 m,拱顶高出水面4 m。
(1)求这座拱桥所在圆的半径；
(2)现有一艘宽5 m,船舱顶部为正方形并高出水面3.6 m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由。

解题关键 (1)先连接 $ OA $,再根据垂径定理和勾股定理求解；(2)连接 $ OM $,$ MN = 5 $ m,可求得此时 $ OH $ 的长,即可求得 $ DH $ 的长,与3.6 m比较即可。

答案：
解:
(1)如图①,连接OA,根据题意得CD=4m,AB=12m,则AD=$\frac{1}{2}$AB=6m。设这座拱桥所在圆的半径为x m,则OA=OC=x m,OD=OC - CD=(x - 4)m。
在Rt△AOD中,OA²=OD²+AD²,则x²=(x - 4)²+6²,解得x=6.5。
故这座拱桥所在圆的半径为6.5m。

(2)货船不能顺利通过这座拱桥。理由:如图②,连接OM。
∵OC⊥MN,MN=5m,
∴MH=$\frac{1}{2}$MN=2.5m。
在Rt△OMH中,OH=$\sqrt{OM^2 - MH^2}$=6m,
∵OD=OC - CD=6.5 - 4=2.5(m),
∴DH=OH - OD=6 - 2.5=3.5(m)＜3.6m,
∴货船不能顺利通过这座拱桥。