《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

1. 若$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2}-4x - 5 = 0$的两根,则$x_{1}x_{2}$的值为(A)
A.$-5$
B.$5$
C.$-4$
D.$4$

答案： A

2. (2025河南中考)对于一元二次方程$x^{2}-2x = 0$,它的根的情况为(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

3. 一元二次方程$x^{2}-3x+1 = 0的两个根为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}^{2}+3x_{2}+x_{1}x_{2}-2$的值是(D)
A.$10$
B.$9$
C.$8$
D.$7$

答案： D

4. (2024河南中考)若关于$x的方程\frac{1}{2}x^{2}-x+c = 0$有两个相等的实数根,则$c$的值为$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$

5. 在解某个方程时,甲看错了一次项的系数,得出的两个根为$-9,-1$；乙看错了常数项,得出的两个根为$8,2$,则这个方程为$x^{2}-10x+9=0$。

答案： $x^{2}-10x+9=0$

6. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2}-3x - 1 = 0$的两根,不解方程求下列各式的值：
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$。

答案：
(1)11
(2)-3

7. 若方程$x^{2}+(m^{2}-1)x+m = 0$的两根互为相反数,则$m=$-1。

答案： -1

8. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2}-2x+k+2 = 0$的两个实数根。是否存在实数$k$,使得等式$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= k - 2$成立？如果存在,请求出$k$的值；如果不存在,请说明理由。

答案： 解:$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(k+2)\geq0$,解得$k\leq-1$。$\because x_{1},x_{2}$是方程的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}x_{2}=k+2$。$\because \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=k-2$,$\therefore \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{2}{k+2}=k-2$,$\therefore k^{2}-6=0$,解得$k_{1}=-\sqrt{6}$,$k_{2}=\sqrt{6}$。又$\because k\leq-1$,$\therefore k=-\sqrt{6}$。$\therefore$ 存在这样的$k$值,使得等式$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=k-2$成立,$k$值为$-\sqrt{6}$。

9. (综合应用)已知$\triangle ABC的边BC的长为5$,边$AB,AC的长是关于x的一元二次方程x^{2}-(2k + 3)x+k^{2}+3k+2 = 0$的两个实数根。
(1) 求证：无论$k$为何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2)$k$为何值时,$\triangle ABC是以BC$为斜边的直角三角形？

答案：
(1)证明:$\because \Delta=-(2k+3)]^{2}-4(k^{2}+3k+2)=4k^{2}+12k+9-4k^{2}-12k-8=1＞0$,$\therefore$ 无论$k$为何值时,方程总有两个不相等的实数根。
(2)解:$\because AB,AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$的两个实数根,$\therefore$ 由一元二次方程根与系数的关系得:$AB+AC=2k+3$,$AB\cdot AC=k^{2}+3k+2$。又$\because \triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形,由勾股定理得$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$,即$(AB+AC)^{2}-2AB\cdot AC=BC^{2}$,$\therefore (2k+3)^{2}-2(k^{2}+3k+2)=25$,整理,得$k^{2}+3k-10=0$,解得$k_{1}=2$,$k_{2}=-5$。$\because AB,AC$是$\triangle ABC$的两条边长,$\therefore AB＞0$,$AC＞0$,$\therefore AB+AC＞0$,而当$k_{2}=-5$时,$AB+AC=2×(-5)+3=-7＜0$,不合题意,舍去。故$k=2$,$\therefore$ 当$k=2$时,$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形。