《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

8. 如图24-2-4-9,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,AC,PB的延长线相交于点D。
(1)若∠1= 20°,求∠APB的度数；
(2)当∠1为多少度时,OP= OD？并说明理由。

答案： 1. **（1）求$\angle APB$的度数：
因为$PA$是$\odot O$的切线，$AC$是$\odot O$的直径，所以$\angle PAC = 90^{\circ}$。
已知$\angle 1 = 20^{\circ}$，则$\angle PAB=\angle PAC-\angle 1 = 90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$。
又因为$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，所以$PA = PB$，$OA\perp PA$，$OB\perp PB$，$\angle PAB=\angle PBA$（等腰三角形两底角相等）。
根据三角形内角和定理$\angle APB + \angle PAB+\angle PBA=180^{\circ}$，所以$\angle APB=180^{\circ}-2\angle PAB$。
把$\angle PAB = 70^{\circ}$代入可得$\angle APB=180^{\circ}-2×70^{\circ}=40^{\circ}$。
2. **（2）求$\angle 1$的度数：
当$\angle 1 = 30^{\circ}$时，$OP = OD$。
理由如下：
若$OP = OD$，则$\angle D=\angle OPD$。
因为$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，所以$\angle OPB=\angle OPA=\frac{1}{2}\angle APB$，$OB\perp PB$。
因为$OA = OB$，$PA = PB$，$OP = OP$，所以$\triangle OAP\cong\triangle OBP(SSS)$，$\angle AOP=\angle BOP$。
又因为$\angle AOP+\angle BOP+\angle BOD = 180^{\circ}$，$\angle BOD=\angle D+\angle OPD = 2\angle OPD$，$\angle OPD=\angle OPB$。
设$\angle 1=x$，则$\angle AOP = 90^{\circ}-x$，$\angle BOP = 90^{\circ}-x$，$\angle BOD = 2x$。
由$\angle AOP+\angle BOP+\angle BOD = 180^{\circ}$，可得$(90 - x)+(90 - x)+2x = 180$（恒成立），同时，因为$OB\perp PB$，$\angle BOD+\angle D=90^{\circ}$，又$\angle D=\angle OPD$，$\angle OPB=\angle OPD$，$\angle BOP = 2\angle 1$（$\angle BOP$是$\triangle AOB$的外角，$\angle OAB=\angle 1$，$OA = OB$）。
因为$\angle BOP+\angle D=90^{\circ}$，$\angle D=\angle OPB$，且$\angle BOP = 2\angle 1$，$\angle OPB=\angle OPA$，$\angle AOP=\angle BOP$，在$Rt\triangle OBP$中，$\angle BOP + \angle OPB=90^{\circ}$，若$\angle 1 = 30^{\circ}$，则$\angle BOP=60^{\circ}$，$\angle OPB = 30^{\circ}$，$\angle D=\angle OPB = 30^{\circ}$，$\angle BOD=60^{\circ}$，满足$\angle BOP+\angle D = 90^{\circ}$（$\angle BOP = 60^{\circ}$，$\angle D = 30^{\circ}$）。
综上，（1）$\angle APB = 40^{\circ}$；（2）当$\angle 1 = 30^{\circ}$时，$OP = OD$。

9. 如图24-2-4-10,正方形ABCD的边长为4cm,以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆,再过点A作半圆的切线,与半圆切于点F,与CD交于点E,求△ADE的面积。

答案： 解:设DE=x cm,则CE=(4-x)cm。
∵CD,AE,AB均为⊙O的切线,
∴EF=CE=(4-x)cm,AF=AB=4 cm,
∴AE=AF+EF=(8-x)cm。在Rt△ADE中,AE²=AD²+DE²,即(8-x)²=4²+x²,解得x=3。
∴S△ADE=1/2AD·DE=1/2×4×3=6(cm²)。

10. 如图24-2-4-11,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,A,B为切点,AC为⊙O的直径,PO交⊙O于点E。
(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系,并说明理由；
(2)若⊙O的半径为4,P是⊙O外一动点,是否存在点P,使四边形PAOB为正方形？若存在,请求出PO的长,并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在,请说明理由。

答案： 解:
(1)∠APB=2∠BAC。理由:
∵PA,PB为⊙O的切线,
∴∠APO=∠BPO=1/2∠APB。
∴PF⊥AB,
∴∠PFA=∠PFB=90°,
∴∠APO+∠PAB=90°。
∵PA切⊙O于点A,
∴PA⊥OA,即∠BAC+∠PAB=90°,
∴∠APO=∠BAC,
∴∠APB=2∠BAC。
(2)存在。当四边形PAOB是正方形时,PA=AO=OB=BP=4,PO⊥AB且PO=AB,
∴1/2PO·AB=OA·OB,即1/2PO²=OA²,1/2PO²=16,
∴PO=4√2。这样的点P有无数个,它们到圆心O的距离等于4√2。