《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

9. 如图 22 - 1 - 7 - 3,二次函数 $ y = ax^{2} - 4x + c $ 的图象经过点 $ A(-1,-1) $ 和点 $ B(3,-9) $。
(1)求该二次函数的解析式；
(2)直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)点 $ P(m,m) $ 与点 $ Q $ 均在该函数图象上(其中 $ m \gt 0 $),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求 $ m $ 的值及点 $ Q $ 到 $ x $ 轴的距离。

答案： 解:
(1)y=x²-4x-6
(2)由y=x²-4x-6=(x - 2)²-10可知:对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-10)。
(3)将P(m,m)代入y=x²-4x-6,得m=m²-4m-6,解得m₁=-1,m₂=6。
∵m＞0,所以m=-1不合题意，舍去。
∴m=6,
∴P点的坐标为(6,6);
∵点P与点Q关于对称轴直线x=2对称，
∴点Q到x轴的距离为6。

10. 如图 22 - 1 - 7 - 4,已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象的对称轴为直线 $ x = -1 $,图象经过 $ B(-3,0) $,$ C(0,3) $ 两点,且与 $ x $ 轴交于点 $ A $。
(1)求二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 $ M $,使 $ \triangle ACM $ 的周长最短,并求出点 $ M $ 的坐标。

答案：
解:
(1)y=-x²-2x+3
(2)连接BC,交直线x=-1于点M,如图所示。
∵点A,B关于直线x=-1对称,
∴AM=BM。
∵点B,M,C三点共线,
∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC。设直线BC的函数解析式为y=kx+d(k ≠0),将B(-3,0),C(0,3)代入y=kx+d,得{-3k+d=0,d=3},解得{k=1,d=3}
∴直线BC的函数解析式为y=x+3。当x=-1时,y=x+3=2,
∴当点M的坐标为(-1,2)时,△ACM 的周长最短。