《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

【例1】有一座桥,桥洞的形状是一条开口向下的抛物线,其对应的函数解析式为$ y = -\frac{1}{2}x^{2} $($ x $,$ y 的单位均为 m $)。
(1)在平面直角坐标系中画出这条抛物线；
(2)利用图象求水面离桥洞的最高点$ 2m $时,水面的宽度是多少米。
解题关键(1)作函数图象的步骤为列表、描点、连线；(2)将$ y $值代入函数解析式求解。

答案：
解:
(1)列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …
描点、连线得二次函数y=−$\frac{1}{2}$x²的图象，如图所示。
　　　　
(2)如图,过点M(0,−2)作直线AB平行于x轴,交抛物线于A,B两点。
∵y=−$\frac{1}{2}$x²的图象关于y轴对称，
∴AM=BM。
又
∵直线AB平行于x轴，
∴点A,B的纵坐标均为−2。
当y=−2时,y=−$\frac{1}{2}$x²=−2,x=±2。
∴A(−2,−2),B(2,−2),即AB=4。
∴此时水面的宽度为4m。

【例2】已知$ y = (k + 1)x^{k^{2} - 2} 是关于 x $的二次函数。
(1)求满足条件的$ k $的值；
(2)$ k $为何值时,抛物线有最低点？求出这个最低点。当$ x $为何值时,$ y 的值随 x $值的增大而增大？
解题关键依据函数$ y = ax^{2} $的图象与性质解答。

答案： 解:
(1)根据二次函数的定义得$\left\{\begin{array}{l} k^{2}-2=2,\\ k+1\neq 0,\end{array}\right.$解得k=±2。
(2)根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，
∴k+1＞0,即k＞−1,根据
(1)得k=2。
∴该抛物线的解析式为y=3x²,
∴抛物线的顶点为(0,0),
∴当k=2时,抛物线有最低点(0,0)。
当x＞0时,y随x的增大而增大。