《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

【例1】如图24 - 1 - 1 - 2,半圆 $ O $ 的直径 $ AB = 8 $,半径 $ OC \perp AB $,$ D $ 为弧 $ AC $ 上一点,$ DE \perp OC $,$ DF \perp OA $,垂足分别为点 $ E $,$ F $,求 $ EF $ 的长。
解题关键 连接 $ OD $,判定四边形 $ DEOF $ 是矩形,再据矩形的对角线相等求得 $ EF $ 的长。

答案： 解:连接OD。
∵OC⊥AB,DE⊥OC,DF⊥OA,
∴∠AOC=∠DEO=∠DFO=90°,
∴四边形DEOF是矩形,
∴EF=OD。
∵OD=OA,
∴EF=OA=4。

【例2】下列说法错误的是 ( )

A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
解题关键 准确把握直径、等弧、等圆的概念,等圆指的是半径相等的圆。

答案： B

1. 下列条件中,能确定圆的是 ( )

A.以已知点 $ O $ 为圆心
B.以 $ 1 cm $ 长为半径
C.经过已知点 $ A $,且半径为 $ 2 cm $
D.以点 $ O $ 为圆心,$ 1 cm $ 长为半径

答案： D

2. 如图24 - 1 - 1 - 3,在 $ \odot O $ 中,弦的条数是 ( )


A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.以上均不正确

答案： C

3. 如图24 - 1 - 1 - 4,在 $ \odot O $ 中,$ AB $ 是直径,$ AC $ 是弦,连接 $ OC $,若 $ \angle ACO = 30^{\circ} $,则 $ \angle BOC $ 的度数是 ( )


A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 55^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

答案： D

4. 若圆的半径为 $ 3 $,则弦 $ AB $ 长度的取值范围是______。

答案： 0＜AB≤6

5. 如图24 - 1 - 1 - 5,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,以点 $ C $ 为圆心,$ BC $ 为半径的圆交 $ AB $ 于点 $ D $,交 $ AC $ 于点 $ E $,$ \angle BCD = 40^{\circ} $,则 $ \angle A = $______。

答案： 20°

6. 如图24 - 1 - 1 - 6,$ AB $,$ CD $ 为 $ \odot O $ 的两条直径,点 $ E $,$ F $ 在直径 $ CD $ 上,且 $ CE = DF $。求证：$ AF = BE $。

答案： 证明：
根据题意，$AB$，$CD$为$\odot O$的两条直径，
因此，$AO = BO$（半径相等），$CO = DO$（半径相等）。
已知$CE = DF$，
由于$CO = DO$，可以得到：
$CO - CE = DO - DF$
即$OE = OF$。
根据三角形的全等定理，在$\triangle AOF$和$\triangle BOE$中，
$AO = BO$（半径相等），
$\angle AOF = \angle BOE$（对顶角相等），
$OF = OE$（已证明）。
所以，$\triangle AOF \cong \triangle BOE$（SAS）。
由于$\triangle AOF$与$\triangle BOE$全等，根据全等三角形的对应边相等，可以得到：
$AF = BE$。

7. 如图24 - 1 - 1 - 7,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ CD $ 是 $ \odot O $ 的弦,$ AB $,$ CD $ 的延长线交于点 $ E $,已知 $ AB = 2DE $,若 $ \triangle COD $ 为直角三角形,则 $ \angle E $ 的度数为______。

答案： 22.5°

8. 如图24 - 1 - 1 - 8,点 $ A $,$ B $ 和点 $ C $,$ D $ 分别在两个同心圆上,且 $ \angle AOB = \angle COD $。求证：$ \angle C = \angle D $。

答案： 证明：
∵点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，
∴OA=OB，OC=OD。
在△AOB和△COD中，
$\begin{cases}OA=OC\\\angle AOB=\angle COD\\OB=OD\end{cases}$
∴△AOB≌△COD（SAS）。
∴∠C=∠D。

9. 如图24 - 1 - 1 - 9,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的弦,半径 $ OC $,$ OD $ 分别交 $ AB $ 于点 $ E $,$ F $,且 $ AE = BF $,请你判断线段 $ OE $ 与 $ OF $ 的数量关系,并给予证明。

答案： 解：$OE = OF$。
证明：连接$OA$，$OB$。
因为$OA$，$OB$是$\odot O$的半径，所以$OA = OB$。
所以$\angle A=\angle B$（等边对等角）。
在$\triangle OAE$和$\triangle OBF$中，
$\begin{cases}OA = OB\\\angle A=\angle B\\AE = BF\end{cases}$
所以$\triangle OAE\cong\triangle OBF(SAS)$。
所以$OE = OF$（全等三角形的对应边相等）。

10. 如图24 - 1 - 1 - 10,$ BD $,$ CE $ 是 $ \triangle ABC $ 的高,$ M $ 为 $ BC $ 的中点。试说明点 $ B $,$ C $,$ D $,$ E $ 在以点 $ M $ 为圆心的同一个圆上。




解:如图,连接ME,MD。
∵BD,CE分别是△ABC的边AC,AB上的高,M为BC的中点，
∴ME=MD=MC=MB=$\frac{1}{2}$BC,
∴点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上。

答案： 解:如图,连接ME,MD。
∵BD,CE分别是△ABC的边AC,AB上的高,M为BC的中点，
∴ME=MD=MC=MB=$\frac{1}{2}$BC,
∴点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上。