《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

1. 二次函数$ y = x^{2} $的图象必经过点(A)
A.$ (2,4) $
B.$ (-2,-4) $
C.$ (-4,2) $
D.$ (4,-2) $

答案： A

2. 比较二次函数$ y = x^{2} 与 y = -x^{2} $的图象,下列结论错误的是(C)
A.对称轴相同
B.顶点相同
C.图象都有最高点
D.开口方向相反

答案： C

3. 下列四个二次函数：①$ y = x^{2} $；②$ y = -2x^{2} $；③$ y = \frac{1}{2}x^{2} $；④$ y = 3x^{2} $。其中抛物线开口从大到小的排列顺序是(A)
A.③①②④
B.②③①④
C.④②①③
D.④①③②

答案： A

4. 已知点$ A(-3,y_{1}) $,$ B(-1,y_{2}) $,$ C(2,y_{3}) 在二次函数 y = 2x^{2} $的图象上,则$ y_{1} $,$ y_{2} $,$ y_{3} $的大小关系是(D)
A.$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3} $
B.$ y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1} $
C.$ y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2} $
D.$ y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1} $

答案： D

5. 已知二次函数$ y = (m + 1)x^{2} $有最大值,则$ m $的取值范围是____。

答案： m＜−1

6. 在同一平面直角坐标系中,画出二次函数$ y = x^{2} $,$ y = -3x^{2} $,$ y = -\frac{1}{3}x^{2} 和 y = 3x^{2} $的图象。
答题（画图步骤）：
1.列表：
对于 $y = x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&9&4&1&0&1&4&9\end{matrix}$；
对于 $y = -3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-27&-12&-3&0&-3&-12&-27\end{matrix}$；
对于 $y = -\frac{1}{3}x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-3&-\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}&0&-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}&-3\end{matrix}$；
对于 $y = 3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&27&12&3&0&3&12&27\end{matrix}$；
2.在平面直角坐标系中，分别描出以上对应的点；
3.用平滑的曲线将各点连接起来，得到四个二次函数的图象。
$y = x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -3x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -\frac{1}{3}x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = 3x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点。
（图像应以实际绘制为准，此处仅为描述）。

答案： 答题（画图步骤）：
1.列表：
对于 $y = x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&9&4&1&0&1&4&9\end{matrix}$；
对于 $y = -3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-27&-12&-3&0&-3&-12&-27\end{matrix}$；
对于 $y = -\frac{1}{3}x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-3&-\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}&0&-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}&-3\end{matrix}$；
对于 $y = 3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&27&12&3&0&3&12&27\end{matrix}$；
2.在平面直角坐标系中，分别描出以上对应的点；
3.用平滑的曲线将各点连接起来，得到四个二次函数的图象。
$y = x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -3x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -\frac{1}{3}x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = 3x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点。
（图像应以实际绘制为准，此处仅为描述）。

7. 如图22-1-2-1,$ \odot O 的半径为 2 $,$ C_{1} 是函数 y = 2x^{2} $的图象,$ C_{2} 是函数 y = -2x^{2} $的图象,则图中阴影部分的面积为2π。

答案： 2π

8. 抛物线$ y = ax^{2} 与直线 y = 2x - 3 交于点 (1,b) $。
(1)求$ a $,$ b $的值。
(2)抛物线$ y = ax^{2} 上是否存在一点 P $,其到两坐标轴的距离相等？若存在,求出点$ P $的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)a=−1,b=−1
(2)若存在点P,设点P的坐标为(x,y),则|x|=|y|。
∵a=−1,
∴y=−x²,
∴x²=|x|,
∴x=0或x=±1,
∴点P的坐标为(0,0)或(1,−1)或(−1,−1)。

9. (数形结合)如图22-1-2-2,已知二次函数$ y = ax^{2} 与一次函数 y = kx - 2 的图象相交于 A $,$ B $两点,其中$ A(-1,-1) $。
(1)求二次函数和一次函数的解析式；
(2)求$ \triangle OAB $的面积。

答案：

(1)一次函数的解析式为y=−x−2。二次函数的解析式为y=−x²。
(2)如图,设AB交y轴于点G,过B作BH ⊥OG,垂足为H。
在y=−x−2中,令x=0,得y=−2,
∴G(0,−2),
联立一次函数与二次函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l} y=-x-2,\\ y=-x^{2},\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-4\end{array}\right.$。
∴B(2,−4),
∴BH=2。
∴S△OAB=S△AOG+S△BOG=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$× 2×2=1+2=3。