《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

【例1】不解方程,判断下列方程的根的情况。
(1) $2x^{2}+3x = 4$； (2) $ax^{2}+bx = 0(a\neq0)$。
解题关键 直接利用根的判别式判断。

答案： 解:
(1)$2x^{2}+3x-4=0$,
$\Delta =b^{2}-4ac=3^{2}-4× 2× (-4)=41＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根。
(2)$\because a\neq 0$,
∴方程是一元二次方程。
$\because \Delta =(-b)^{2}-4\cdot a\cdot 0=b^{2}\geq 0$,
∴方程有两个实数根。

【例2】已知关于 $x$ 的方程 $(m + 2)x^{2}+2x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,求 $m$ 的取值范围。
解题关键 方程有两个不相等的实数根,说明 $\Delta＞0$,注意二次项系数不为零。

答案： 解$:$由题意得$\Delta =2^{2}-4(m+2)\cdot (-1)$　　
$＞0,$解得$m＞-3。$又方程有两个不相等　　
的实数根$,$则方程必为一元二次方程$,$即$m$　　
$+2\neq 0,$解得$m\neq -2。$综上$,m$的取值范　　
围是$m＞-3$且$m\neq -2。$　　

【例3】用公式法解一元二次方程：
(1) $x^{2}+5x - 4 = 0$；(2) $3x^{2}+1 = 2x - 5$。
解题关键 (1) 直接利用求根公式求解；(2) 先将方程化为一般形式后确定 $a,b,c$ 的值,然后代入求根公式求解。

答案： 解:
(1)$\Delta =5^{2}-4× (-4)=41＞0$,
$\therefore x_{1}=\frac {-5+\sqrt {41}}{2},x_{2}=\frac {-5-\sqrt {41}}{2}$。
(2)方程整理为$3x^{2}-2x+6=0$,
$\Delta =b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4× 3× 6＜0$,
∴此方程没有实数根。