《2025年新课程自主学习与测评七年级数学上册人教版》

如图,点 $A$,$B$,$C$ 是数轴上三点,点 $C$ 表示的数为 $6$,$BC = 4$,$AB = 12$.

(1)写出数轴上点 $A$,$B$ 表示的数；
(2)动点 $P$,$Q$ 同时从 $A$,$C$ 出发,点 $P$ 以每秒 $4$ 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点 $Q$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为 $t(t ＞ 0)$ 秒.
① 求数轴上点 $P$,$Q$ 表示的数(用含 $t$ 的式子表示)；
② 当 $t$ 为何值时,点 $P$,$Q$ 相距 $6$ 个单位长度.

答案：
(1) 点A表示的数是-10，点B表示的数是2.
(2) ① 点P表示的数是-10+4t，点Q表示的数是6-2t；② 当$t=\frac{5}{3}$或$t=\frac{11}{3}$时，点P，Q相距6个单位长度.

1. 在方程 $\frac{x - 1}{2} = \frac{x + 2}{3}$ 的两边同时乘6,可将原方程转化为不含分母的方程.

答案： 6.

2. 将方程 $\frac{x - 1}{2} - \frac{2x - 5}{3} = 1$ 去分母得3(x-1)-2(2x-5)=6.

答案： 3(x-1)-2(2x-5)=6.

3. 解方程 $\frac{2x + 1}{3} - \frac{10x - 1}{6} = 1$,去分母正确的是(D)
A.$2x + 1 - 10x - 1 = 1$
B.$4x + 2 - 10x - 1 = 6$
C.$4x + 2 - 10x + 1 = 1$
D.$4x + 2 - 10x + 1 = 6$

答案： D.

4. 若代数式 $x - \frac{1 + x}{3}$ 的值是 $2$,则 $x$ 的值是(D)
A.$0.75$
B.$1.75$
C.$1.5$
D.$3.5$

答案： D.

5. 若 $\frac{1}{3}(2x - 1)$ 与 $\frac{6}{5}x + 3$ 互为相反数,则 $x$ 的值为(B)
A.$-\frac{50}{8}$
B.$-\frac{10}{7}$
C.$\frac{1}{14}$
D.$-1$

答案： B.

问题 一艘轮船航行在甲、乙两个码头之间,已知水流速度是 $3\ km/h$,轮船顺水航行需 $5\ h$,逆水航行需 $7\ h$,求甲、乙两个码头之间的距离.
名师指导
在该题中,设两地之间的距离为 $x\ km$,则顺水速度为 $\frac{x}{5}\ km/h$,逆水速度为 $\frac{x}{7}\ km/h$,静水速度可表示为 $(\frac{x}{5} - 3)\ km/h$ 或 $(\frac{x}{7} + 3)\ km/h$,从而列出方程.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案： 解：设甲、乙两个码头之间的距离为 $x$ km。
根据题意，顺水时的速度为 $\frac{x}{5}$ km/h，逆水时的速度为 $\frac{x}{7}$ km/h。
考虑到水流速度为 $3$ km/h，静水速度可以表示为顺水速度减去水流速度，即 $\left(\frac{x}{5} - 3\right)$ km/h，
或者逆水速度加上水流速度，即$\left(\frac{x}{7} + 3\right)$ km/h。
由于静水速度是恒定的，可以得到方程：
$\frac{x}{5} - 3 = \frac{x}{7} + 3$，
移项得：
$\frac{x}{5} - \frac{x}{7} = 6$，
通分，得：
$\frac{7x - 5x}{35} = 6$，
即：
$\frac{2x}{35} = 6$，
系数化为$1$得：
$x = 105$。
所以甲、乙两个码头之间的距离为 $105$ km。