《2025年新课程自主学习与测评七年级数学上册人教版》

2. 某游泳馆推出两种游泳付费方式：
方式一：先购买会员卡,每张会员卡 300 元,只限本人当年使用,凭卡游泳每次再付费 10 元；
方式二：不购买会员卡,每次游泳付费 25 元.
(1)按方式一付费,则总费用为(10x+300)元；按方式二付费,则总费用为25x元.
(2)如果两种方式的总费用一样多,那么他游泳次数是多少次？
由题意，得10x+300=25x，解得x=20，所以游泳次数是20次.
(3)小明预计今年游泳费为 600 元,他选择哪种付费方式游泳次数比较多？请加以说明.
方式一. 理由如下：由题意知，当10x+300=600时，x=30；当25x=600时，x=24. 因为30＞24，所以选择方式一付费，游泳次数比较多.

答案： （1）(10x+300)；25x. （2）由题意，得10x+300=25x，解得x=20，所以游泳次数是20次. （3）方式一. 理由如下：由题意知，当10x+300=600时，x=30；当25x=600时，x=24. 因为30＞24，所以选择方式一付费，游泳次数比较多.

3. 某校计划购买 20 张书桌和一批书架(书架不少于 20 个),现从 $ A $、$ B $ 两家超市了解到：同型号的产品价格相同,书桌每张 210 元,书架每个 70 元. $ A $ 超市的优惠政策为每买一张书桌赠送一个书架,$ B $ 超市的优惠政策为所有商品打八折.
(1)若规定只能到其中一家超市购买所有商品,什么情况下到 $ A $ 超市购买合算？
(2)若学校想购买 20 张书桌和 100 个书架,且可到两家超市自由选购,你认为至少要准备多少货款？请用计算的结果来验证你的说法.

答案： （1）设当购买书架x个时，两家超市付款一样. 根据题意，得210×20+70(x-20)=(210×20+70x)×80%，解得x=40. 用特殊值法验证，① 当购买30个书架时，A超市需付款210×20+70×10=4 900(元)，B超市需付款(210×20+70×30)×80%=5 040(元)，
∵ 4 900＜5 040，
∴ 当购买30个书架时，到A超市购买合算. ② 当购买50个书架时，A超市需付款210×20+70×30=6 300(元)，B超市需付款(210×20+70×50)×80%=6 160(元)，
∵ 6 160＜6 300，
∴ 当购买50个书架时，到B超市购买合算. 综上可知，当购买书架少于40个且不少于20个时，到A超市购买合算. （2）要分三种方案：① 全部到A超市购买：210×20+70×80=9 800(元)；② 全部到B超市购买：(210×20+70×100)×80%=8 960(元)；③ 先到A超市购买20张书桌（赠送20个书架），再到B超市购买80个书架：210×20+70×80×80%=8 680(元).
∵ 8 680＜8 960＜9 800，
∴ 学校购买20张书桌和100个书架，且可到两家超市自由选购，至少要准备8 680元货款.

某校组织若干师生到故宫进行参观活动. 若学校只租用 45 座的客车,则刚好坐满；若只租用 60 座的客车,则可少租用 1 辆,且有一辆只坐了 15 人,其余车辆都坐满.
(1)参加此次活动的师生共有多少人？
下面是解决该问题的两种方法,请选择其中的一种方法完成分析和解答.
方法一：设租用45座客车x辆，则参加此次活动的师生共有45x人；按租用60座客车的方式，师生总人数还可表示为60(x-2)+15人；根据师生总人数不变，可列方程为45x=60(x-2)+15.
方法二：设参加此次活动的师生共有x人，则按租用45座客车的方式，需要租用$\frac{x}{45}$辆；按租用60座客车的方式，需要租用$\frac{x-15}{60}+1$辆；根据租用60座客车比租用45座客车少1辆，可列方程为$\frac{x}{45}-1=\frac{x-15}{60}+1$.
(2)若 45 座的客车每辆租金是 1 200 元,60 座的客车每辆租金是 1 500 元,如果两种客车可以混租,请直接写出 45 座客车和 60 座客车各租多少辆时,费用最少.
45座和60座客车各租3辆时费用最少，为8100元.

答案： 解：（1）方法一：45x；60(x-2)+15；45x=60(x-2)+15. 方法二：$\frac{x}{45}$；$\frac{x-15}{60}+1$；$\frac{x}{45}-1=\frac{x-15}{60}+1$. （2）45座和60座客车各租3辆时费用最少，为8 100元.