《2025年新课程自主学习与测评七年级数学上册人教版》

7. 已知$A = 2a^{2} + b^{2} - 5ab$,$B = a^{2} - 3ab + 2$。
(1) 化简：$A - 2B + 4$；
(2) 若$\vert a + 2\vert + (b - 1)^{2} = 0$,求$A - 2B + 4$的值。

答案： （1）$\because A=2a^2+b^2-5ab$，$B=a^2-3ab+2$，$\therefore A-2B+4=(2a^2+b^2-5ab)-2(a^2-3ab+2)+4=2a^2+b^2-5ab-2a^2+6ab-4+4=b^2+ab$；（2）$\because |a+2|\geq0$，$(b-1)^2\geq0$，又$\because |a+2|+(b-1)^2=0$，$\therefore a=-2$，$b=1$.当$a=-2$，$b=1$时，原式$=1^2+(-2)×1=-1$.

8. 【阅读理解】若$a - b ＞ 0$,则$a ＞ b$；若$a - b = 0$,则$a = b$；若$a - b ＜ 0$,则$a ＜ b$。这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小。
【尝试运用】(1) 试比较代数式$5m^{2} - 4m + 2与4m^{2} - 4m - 7$的值的大小；
【拓展创新】(2) 已知$A = 5m^{2} - 4(\frac{7}{4}m - \frac{1}{2})$,$B = 7(m^{2} - m) + 3$,比较代数式$A与B$的值的大小。

答案： （1）解：$(5m^2-4m+2)-(4m^2-4m-7)=5m^2-4m+2-4m^2+4m+7=m^2+9$，$\because m^2\geq0$，$\therefore m^2+9＞0$，$\therefore 5m^2-4m+2＞4m^2-4m-7$. （2）解：$\because A=5m^2-4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2})$，$B=7(m^2-m)+3$，$\therefore A-B=5m^2-4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2})-[7(m^2-m)+3]=5m^2-7m+2-7m^2+7m-3=-2m^2-1\leq-1＜0$，$\therefore A＜B$.

已知$A$,$B$,$C$三点在数轴上的位置如图所示,它们表示的数分别是$a$,$b$,$c$。

(1) 填空：$abc$＜$0$,$a + b$＞$ac$,$ab - ac$＞$0$；(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)
(2) 若$\vert a\vert = 2$,且点$B到点A$,$C$的距离相等。
① 当$b^{2} = 16$时,求$c$的值；
② 求$b$,$c$之间的数量关系；
③ $P是数轴上B$,$C$两点之间的一个动点,设点$P表示的数为x$。当点$P$在运动过程中,$bx + cx + \vert x - c\vert - 10\vert x + a\vert$的值保持不变时,求$b$的值。
（1）$＜$；$＞$；$＞$. （2）$\because |a|=2$且$a＜0$，$\therefore a=-2$. $\because$点B到点A,C的距离相等，$\therefore c-b=b-a$. ①$\because b^2=16$且$b＞0$，$\therefore b=4$，$a,b$的值代入$c-b=b-a$，$c-4=4-(-2)$，解得：$c=10$. ②根据$c-b=b-a$，$a=-2$，得$c=2b+2$. ③根据题意：$x＜c＜0$，$x+a＞0$，$\therefore |x-c|=c-x$，$|x+a|=x+a$，$\therefore bx+cx+|x-c|-10|x+a|=bx+cx+c-x-10(x+a)=bx+cx+c-x-10x-10a=(b+c-11)x+c-10a$，根据②中求得$c=2b+2$，$\therefore$原式$=(b+c-11)x+c-10a=(b+2b+2-11)x+2b+2-10×(-2)=(3b-9)x+2b+2+20=(3b-9)x+2b+22$. $\because$P点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与$x$无关，$\therefore 3b-9=0$，解得：$b=3$.

答案： （1）$＜$；$＞$；$＞$. （2）$\because |a|=2$且$a＜0$，$\therefore a=-2$. $\because$点B到点A,C的距离相等，$\therefore c-b=b-a$. ①$\because b^2=16$且$b＞0$，$\therefore b=4$，$a,b$的值代入$c-b=b-a$，$c-4=4-(-2)$，解得：$c=10$. ②根据$c-b=b-a$，$a=-2$，得$c=2b+2$. ③根据题意：$x＜c＜0$，$x+a＞0$，$\therefore |x-c|=c-x$，$|x+a|=x+a$，$\therefore bx+cx+|x-c|-10|x+a|=bx+cx+c-x-10(x+a)=bx+cx+c-x-10x-10a=(b+c-11)x+c-10a$，根据②中求得$c=2b+2$，$\therefore$原式$=(b+c-11)x+c-10a=(b+2b+2-11)x+2b+2-10×(-2)=(3b-9)x+2b+2+20=(3b-9)x+2b+22$. $\because$P点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与$x$无关，$\therefore 3b-9=0$，解得：$b=3$.