《2025年新课程自主学习与测评七年级数学上册人教版》

21. (8 分)甲、乙两地相距 $72$ km,一辆工程车和一辆洒水车上午 $6$ 时同时从甲地出发,分别以 $v_1$ km/h、$v_2$ km/h 的速度匀速驶往乙地。工程车到达乙地后停留了 $2$ h,沿原路以原速返回,中午 $12$ 时到达甲地,此时洒水车也恰好到达乙地。
(1)$v_1 = $36,$v_2 = $12；
(2)出发多长时间后,两车相遇？
出发$\frac{9}{2}$小时后两车相遇
(3)直接写出出发多长时间后,两车相距 $30$ km。
出发$\frac{5}{4},\frac{7}{2},\frac{41}{8}$小时后,两车相距30 km

答案： （1）36,12；（2）出发$\frac{9}{2}$小时后两车相遇；（3）出发$\frac{5}{4},\frac{7}{2},\frac{41}{8}$小时后,两车相距30 km

22. (10 分)临近寒假,某班有 $a(a ＞ 10)$ 名学生计划乘坐客车回家,为了给放假回家的学生提供优惠,汽车客运站给出了如下优惠方案：
|优惠方案(原价：80 元/人)|
|① 凭学生证购票一律打八折|
|② 团购：人数超过 10 人时,其中 10 人按原价购票,超出部分每张票打六折|
(1)用含 $a$ 的代数式分别表示出 $a$ 名学生选择这两种方案购票的花费；
(2)当 $a$ 为何值时,两种方案购票的花费一样？
(3)已知一辆客车上共有乘客 $60$ 人,只有学生证购票和团购两种购票方式,这一车总购票款为 $3680$ 元,则客车上有学生证购票和团购购票各多少人？

答案： （1）方案①:80a×80%=64a;方案②:10×80+(a-10)×80×60%=48a+320;（2）64a=48a+320,解得a=20,
∴当a=20时,选择两种方案的花费一样；（3）设客车上有学生证购票x人,则64x+48(60-x)+320=3680,解得x=30,
∴60-x=30.答:客车上有学生证购票30人,有团购购票30人

23. (10 分)定义：我们称关于 $x$ 的方程 $ax + b = 0$ 与方程 $bx + a = 0$($a$,$b$ 均为不等于 $0$ 的常数)互为“轮换方程”,例如：方程 $2x + 4 = 0$ 与方程 $4x + 2 = 0$ 互为“轮换方程”。
(1)①②判断：
① $3x + 7 = 0$ 与 $7x + 3 = 0$；
② $-6x + 3 = 0$ 与 $3x - 6 = 0$；
③ $-11x - 1 = 0$ 与 $x - 11 = 0$。
其中互为“轮换方程”的有______；(填写序号)
(2)$m^{n}=1$若关于 $x$ 的方程 $5x + m + 3 = 0$ 与方程 $4x + n - 2 = 0$ 互为“轮换方程”,求 $m^n$ 的值；
(3)若关于 $x$ 的方程 $5x - p = 0$ 与其“轮换方程”的解都是整数,$p$ 也为整数,对于多项式 $A = 6x^2 - 2kx + 8$ 和 $B = -2(3x^2 - \frac{3}{2}x + k)$,不论 $x$ 取多少,$A$ 与 $B$ 的和始终等于整数 $p$,求常数 $p$ 的值。

答案： （1）①②；（2）$m^{n}=1$；（3）关于x的方程5x-p=0的“轮换方程”为-px+5=0,由方程5x-p=0,得x=$\frac{p}{5}$;由方程-px+5=0,得x=$\frac{5}{p}$.
∵关于x的方程5x-p=0与其“轮换方程”的解都是整数,p也为整数,
∴p=5或-5.A+B=6x² - 2kx + 8 - 2(3x² - $\frac{3}{2}$x + k)=6x² - 2kx + 8 - 6x² + 3x - 2k=(3 - 2k)x + 8 - 2k,
∵多项式A=6x² - 2kx + 8和B=-2(3x² - $\frac{3}{2}$x + k),不论x取多少,A与B的和始终等于整数p,
∴$\begin{cases}3 - 2k=0,\\8 - 2k=p,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2},\\p=5.\end{cases}$综上,常数p的值为5