《2025年新课程自主学习与测评七年级数学上册人教版》

22. (10 分)【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯尽可能多地放入高为 $ 40 \, cm $ 的柜子里,她把杯子按如图所示的方式整齐地叠放成一摞,但她不知道一摞最多能叠几个杯子可以一次性放进柜子里.

【观察发现】
圆圆测量后发现,按这样叠放,这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化,记录的数据如下表所示：

【数学思考】
(1)观察这些表格中数据的规律,用含 $ x $ 的代数式表示 $ h $；
(2)当杯子的数量为 12 个时,求这摞杯子的总高度；
【解决问题】
(3)请帮圆圆算一算,一摞最多能叠几个杯子可以一次性放进柜子里？

答案：
(1) 由表格可得每增加一个杯子，总高度增加1.4cm，则总高度$h=10+(x-1)×1.4=8.6+1.4x$.
(2) 由
(1)得，当$x=12$时，$h=8.6+1.4×12=25.4$(cm).
(3) 依题意，得$(40-10)÷1.4+1\approx22.4$(个)，因为杯子的数量为整数，所以最多能叠22个杯子一次性放进柜子里.

23. (12 分)我们把按一定规律排列的一列数,称为数列,若一个数列中依次排列的相邻的三个数 $ m $,$ n $,$ p $,总满足 $ p = m^{2} - n $,则称这个数列为“理想数列”.
(1)若数列 $ 2 $,$ -1 $,$ a $,$ -4 $,$ b $,…,是“理想数列”,则 $ a = $5,$ b = $29；
(2)若数列 $ x $,$ 3x $,$ 4 $,…,是“理想数列”,求代数式 $ \frac{2}{3} x^{2} - 2x + 3 $ 的值；
(3)若数列 $ \dots $,$ m $,$ n $,$ p $,$ q $,$ \dots $,是“理想数列”,且 $ p - \frac{1}{2} q = 2 $,求代数式 $ n(n^{2} - 3m^{2} + 4) + 9(m^{2} - n) + 2026 $ 的值；
(2) ∵数列$x$，$3x$，$4$，…是“理想数列”，
∴根据“理想数列”的定义可得：$4=x^{2}-3x$，
即$x^{2}-3x-4=0$，
对于方程$x^{2}-3x-4=0$，
分解因式得$(x-4)(x+1)=0$，
则$x-4=0$或$x+1=0$，
解得$x=4$或$x=-1$。

当$x=4$时，
$\frac{2}{3}x^{2}-2x + 3=\frac{2}{3}×4^{2}-2×4 + 3=\frac{2}{3}×16 - 8 + 3=\frac{32}{3}-\frac{24}{3}+\frac{9}{3}=\frac{17}{3}$；

当$x=-1$时，
$\frac{2}{3}x^{2}-2x + 3=\frac{2}{3}×(-1)^{2}-2×(-1)+3=\frac{2}{3}+2 + 3=\frac{2}{3}+\frac{6}{3}+\frac{9}{3}=\frac{17}{3}$。

综上，代数式$\frac{2}{3}x^{2}-2x + 3$的值为$\frac{17}{3}$。

(3) ∵……，$m$，$n$，$p$，$q$，……是理想数列，
∴$q = n^{2}-p$。
∵$p = m^{2}-n$，
∴$q = n^{2}-(m^{2}-n)=n^{2}-m^{2}+n$。
∵$p-\frac{1}{2}q = 2$，
∴$(m^{2}-n)-\frac{1}{2}(n^{2}-m^{2}+n)=2$，
∴$2m^{2}-2n - n^{2}+m^{2}-n = 4$，
∴$3m^{2}-n^{2}-3n = 4$，即$n^{2}-3m^{2}+4=-3n$或$n^{2}-3m^{2}+3n=-4$，
∴$n(n^{2}-3m^{2}+4)+9(m^{2}-n)+2026=n(-3n)+9(m^{2}-n)+2026=-3n^{2}+9m^{2}-9n + 2026=-3(n^{2}-3m^{2}+3n)+2026=-3×(-4)+2026=12 + 2026=2038$

答案：
(1) 5,29；
(2) $\frac{17}{3}$；
(3)
∵……,m,n,p,q,……,是理想数列，
∴$q=n^{2}-p$.
∵$p=m^{2}-n$，
∴$q=n^{2}-(m^{2}-n)=n^{2}-m^{2}+n$.
∵$p-\frac{1}{2}q=2$，
∴$(m^{2}-n)-\frac{1}{2}(n^{2}-m^{2}+n)=2$，
∴$2m^{2}-2n-n^{2}+m^{2}-n=4$，
∴$3m^{2}-n^{2}-3n=4$，即$n^{2}-3m^{2}+4=-3n$或$n^{2}-3m^{2}+3n=-4$，
∴$n(n^{2}-3m^{2}+4)+9(m^{2}-n)+2026=n(-3n)+9(m^{2}-n)+2026=-3n^{2}+9m^{2}-9n+2026=-3(n^{2}-3m^{2}+3n)+2026=-3×(-4)+2026=12+2026=2038$