《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

15. 定义$ [p,q] 为一次函数 y= px+q $的特征数,若特征数为$ [t,t+3] $的一次函数为正比例函数,则这个正比例函数为______$y=-3x$.

答案： 解：由题意得，特征数为$[t,t+3]$的一次函数为$y = tx + (t + 3)$。因为该函数为正比例函数，所以常数项$t + 3 = 0$，解得$t=-3$。则比例系数$t=-3$，所以这个正比例函数为$y=-3x$。
答案：$y=-3x$

16. 如图,直线$ y= -x+4 $分别与x轴、y轴交于A,B两点. 从点$ P(1,0) $射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到点P,则光线第一次的反射点Q的坐标是$(\frac{17}{8},\frac{15}{8})$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了利用轴对称的性质解决光线反射问题，以及一次函数的相关知识。
1.求直线$y = -x + 4$与$x$轴、$y$轴的交点$A$、$B$的坐标。
令$y = 0$，则$0=-x + 4$，解得$x = 4$，所以$A(4,0)$。
令$x = 0$，则$y = 4$，所以$B(0,4)$。
2.求点$P(1,0)$关于直线$y = -x + 4$的对称点$P_1$的坐标。
设$P_1(m,n)$，根据对称点的性质，线段$PP_1$的中点$(\frac{m + 1}{2},\frac{n + 0}{2})$在直线$y = -x + 4$上，且直线$PP_1$与直线$y = -x + 4$垂直，直线$y = -x + 4$的斜率为$-1$，所以直线$PP_1$的斜率为$1$。
可得方程组$\begin{cases}\frac{n}{m - 1}=1\\frac{n}{2}=-\frac{m + 1}{2}+4\end{cases}$。
由$\frac{n}{m - 1}=1$得$n = m - 1$，将其代入$\frac{n}{2}=-\frac{m + 1}{2}+4$中，得到$\frac{m - 1}{2}=-\frac{m + 1}{2}+4$。
方程两边同乘$2$得$m - 1=-(m + 1)+8$，即$m - 1=-m - 1 + 8$，$2m = 8$，解得$m = 4$。
把$m = 4$代入$n = m - 1$得$n = 3$，所以$P_1(4,3)$。
3.求点$P_1(4,3)$关于$y$轴的对称点$P_2$的坐标。
关于$y$轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，所以$P_2(-4,3)$。
4.求直线$P_2P$的方程。
设直线$P_2P$的方程为$y = kx + b$，把$P(1,0)$，$P_2(-4,3)$代入可得$\begin{cases}k + b = 0\\-4k + b = 3\end{cases}$。
用第一个方程$k + b = 0$减去第二个方程$-4k + b = 3$，得$(k + b)-(-4k + b)=0 - 3$，即$5k = -3$，解得$k = -\frac{3}{5}$。
把$k = -\frac{3}{5}$代入$k + b = 0$得$-\frac{3}{5}+b = 0$，解得$b = \frac{3}{5}$，所以直线$P_2P$的方程为$y = -\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}$。
5.求光线第一次的反射点$Q$的坐标。
联立直线$AB$：$y = -x + 4$与直线$P_2P$：$y = -\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}$的方程$\begin{cases}y = -x + 4\\y = -\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}\end{cases}$。
则有$-x + 4 = -\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}$。
方程两边同乘$5$得$-5x + 20 = -3x + 3$。
移项得$-5x + 3x = 3 - 20$，即$-2x = -17$，解得$x=\frac{17}{8}$。
把$x=\frac{17}{8}$代入$y = -x + 4$得$y = - \frac{17}{8}+4=\frac{15}{8}$，所以$Q(\frac{17}{8},\frac{15}{8})$。
【答案】：$(\frac{17}{8},\frac{15}{8})$

17.(本题满分6分)已知点$ P(m-8,n-2) $.
(1)若点P在第二象限,求m,n的取值范围.
(2)若点P在一次函数$ y= -x+4 $的图象上,求$ m+n $的值.

答案：
(1)解：
∵点P在第二象限，
∴$\begin{cases}m - 8 ＜ 0 \\ n - 2 ＞ 0\end{cases}$，
解得$m ＜ 8$，$n ＞ 2$。
(2)解：
∵点P在一次函数$y = -x + 4$的图象上，
∴$n - 2 = -(m - 8) + 4$，
$n - 2 = -m + 8 + 4$，
$n - 2 = -m + 12$，
$m + n = 14$。

18.(本题满分6分)已知y是x的一次函数,且当$ x= 1 $时,$ y= 1 $；当$ x= 3 $时,$ y= -3 $.
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)当$ x= 5 $时,求y的值.

答案： 【解析】：
本题主要考查一次函数的求解和函数值的计算。
(1)部分，需要利用已知的两个点$(1,1)$和$(3,-3)$来确定一次函数的表达式。一次函数的一般形式为$y=kx+b$，可以通过将这两个点代入表达式，得到两个方程，然后解这个方程组来求出$k$和$b$。
(2)部分，则需要将$x=5$代入求得的一次函数表达式中，计算出对应的$y$值。
【答案】：
(1)设一次函数的表达式为$y = kx + b$（其中$k \neq 0$）。
根据题目条件，当$x=1$时，$y=1$；当$x=3$时，$y=-3$。
代入得：
$\begin{cases}k + b = 1, \\3k + b = -3,\end{cases}$
解这个方程组，从第一个方程中解出$b = 1 - k$，代入第二个方程得：
$3k + (1 - k) = -3$，
$2k = -4$，
$k = -2$，
将$k = -2$代入$b = 1 - k$得：
$b = 3$，
因此，这个一次函数的表达式是$y = -2x + 3$。
(2)当$x = 5$时，代入$y = -2x + 3$得：
$y = -2 × 5 + 3 = -10 + 3 = -7$，
$\therefore$当$x = 5$时，$y$的值为$-7$。