《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$DE是线段AB$的垂直平分线,垂足为$D$,交$AC于点E$,$AB= 12\ cm$,若$\triangle BCE的周长为20\ cm$,则$BC$的长为(D)

A.$5\ cm$
B.$6\ cm$
C.$7\ cm$
D.$8\ cm$

答案： 【解析】：本题可根据线段垂直平分线的性质得到$AE = BE$，再结合$\triangle BCE$的周长以及$AB$的长度来求解$BC$的长。
步骤一：根据线段垂直平分线的性质得到$AE$与$BE$的关系
已知$DE$是线段$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得$AE = BE$。
步骤二：分析$\triangle BCE$的周长
$\triangle BCE$的周长为$BE + EC + BC$，因为$AE = BE$，所以$\triangle BCE$的周长可转化为$AE + EC + BC$，而$AE + EC = AC$，即$\triangle BCE$的周长$= AC + BC$。
步骤三：结合已知条件求出$BC$的长
已知$AB = AC = 12cm$，$\triangle BCE$的周长为$20cm$，即$AC + BC = 20cm$，将$AC = 12cm$代入可得$12 + BC = 20$，移项可得$BC = 20 - 12 = 8cm$。
【答案】：D

7. 如图,在等边三角形$ABC$中,$BD= CE$,$AD与BE相交于点P$,则$\angle APE$的度数是(C)
A.$30^\circ$
B.$45^\circ$
C.$60^\circ$
D.$75^\circ$

答案： 【解析】：本题可根据等边三角形的性质，通过证明三角形全等，得出对应角相等，再利用三角形外角的性质求出$\angle APE$的度数。
步骤一：分析等边三角形$ABC$的性质
因为$\triangle ABC$是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，$AB = BC$，$\angle ABC = \angle C = 60^{\circ}$。
步骤二：证明$\triangle ABD\cong\triangle BCE$
已知$BD = CE$，结合步骤一得到的$AB = BC$，$\angle ABC = \angle C$，根据全等三角形判定定理“边角边”（$SAS$），可得$\triangle ABD\cong\triangle BCE$。
步骤三：根据全等三角形的性质得到对应角相等
由$\triangle ABD\cong\triangle BCE$，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”，可得$\angle BAD = \angle CBE$。
步骤四：利用三角形外角的性质求出$\angle APE$的度数
因为$\angle APE$是$\triangle ABP$的一个外角，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得$\angle APE = \angle BAD + \angle ABE$。
将$\angle BAD = \angle CBE$代入上式，可得$\angle APE = \angle CBE + \angle ABE$。
又因为$\angle CBE + \angle ABE = \angle ABC$，且$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\angle APE = 60^{\circ}$。
【答案】：C

8. 如图,网格中的每个小正方形的边长为1,$A,B$是格点. 若以格点$A,B,C$为顶点的三角形是等腰三角形,则所有满足条件的格点$C$的个数为(C)
A.7
B.8
C.9
D.10

答案： 解：以A为顶点，AB为腰：4个
以B为顶点，BA为腰：4个
以AB为底边：1个
共4+4+1=9个
答案：C

9. $\sqrt{16}$的平方根是$\pm 2$；$\sqrt{5}-3$的绝对值是$3-\sqrt{5}$.

答案： 解：$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm 2$；
$\because \sqrt{5}\approx 2.236\lt 3$，$\therefore \sqrt{5}-3\lt 0$，$\vert \sqrt{5}-3\vert =3-\sqrt{5}$.
$\pm 2$；$3-\sqrt{5}$

10. 在$0,\left(-\frac{1}{3}\right)^2,-\pi,-2$这四个数中,最小的实数是$-\pi$.

答案： 解：$\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$，
因为$-\pi \approx -3.14$，且$-3.14 ＜ -2 ＜ 0 ＜ \frac{1}{9}$，
所以最小的实数是$-\pi$。
$-\pi$

11. $78.9823$亿,保留整数是79亿.

答案： 【解析】：
题目要求将给定的数字$78.9823$亿保留为整数亿。
在进行数值保留时，我们需要观察需要保留的下一位数值，根据四舍五入的规则来确定保留的数值。
在本题中，我们需要将$78.9823$亿保留为整数亿，即保留到个位。
观察$78.9823$亿的小数点后第一位是$9$（大于等于5），因此根据四舍五入的规则，个位$8$需要加$1$，变为$9$，而十位及以上的数值保持不变。
所以，$78.9823$亿四舍五入到个位后应为$79$亿。
【答案】：
$79$

12. 比较大小：$\frac{\sqrt{7}-1}{3}$＜$\frac{2}{3}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

答案： 解：因为$\sqrt{7} ＜ 3$，所以$\sqrt{7} - 1 ＜ 2$，两边同时除以$3$得$\frac{\sqrt{7} - 1}{3} ＜ \frac{2}{3}$。
＜

13. 已知$3a+2和a-10$是一个正数的两个平方根,则这个数的立方根是4.

答案： 【解析】：
本题主要考查平方根的性质以及立方根的计算。
首先，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数。
因此，有：
$3a + 2 + a - 10 = 0$
解这个方程，得到：
$4a - 8 = 0$
$4a = 8$
$a = 2$
将求得的$a$值代入$3a + 2$，得到其中一个平方根：
$3a + 2 = 3 × 2 + 2 = 8$
由于平方根互为相反数，所以另一个平方根是$-8$。
那么这个正数就是$8^2 = 64$（或$(-8)^2 = 64$）。
最后，求这个数的立方根：
$\sqrt[3]{64} = 4$
【答案】：
$4$

14. 若一条长为$24\ cm的细线恰好可以围成一边长为6\ cm$的等腰三角形,则该等腰三角形的腰长为9$cm$.

答案： 解：分两种情况讨论：
情况一：当腰长为6cm时，底边长为24-6×2=12cm。此时6+6=12，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去。
情况二：当底边长为6cm时，腰长为(24-6)÷2=9cm。此时9+9＞6，9+6＞9，满足三角形三边关系。
综上，该等腰三角形的腰长为9cm。
答案：9