《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

24. (本题满分10分)如图,一次函数$y = \frac{5}{12}x + 5的图象分别与x$轴、$y轴相交于点A$,$B$,且与经过点$C(7,0)的一次函数y = kx + b的图象相交于点D$,点$D$的横坐标为12,直线$CD与y轴相交于点E$.
(1) 直线$CD$的函数表达式为_____.
(2) $Q为线段DE$上的一个动点,连接$BQ$.
① 若直线$BQ将\triangle BDE$的面积分为1:2两部分,求点$Q$的坐标.
② 点$Q$是否存在某个位置,将$\triangle BQD沿着直线BQ$翻折,使得点$D恰好落在直线AB$下方的坐标轴上?若存在,请求出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)$y=2x - 14$
(2)①$(4,-6)$或$(8,2)$
②$(6,-2)$

答案：
(1) 解：在$y=\frac{5}{12}x+5$中，令$x=12$，得$y=\frac{5}{12}×12 + 5=10$，$\therefore D(12,10)$。
$\because$ 直线$CD$过$C(7,0)$，$D(12,10)$，设$y=kx+b$，则$\begin{cases}7k + b=0\\12k + b=10\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=-14\end{cases}$，$\therefore$ 直线$CD$的表达式为$y=2x - 14$。
(2) ① 解：在$y=2x - 14$中，令$x=0$，得$y=-14$，$\therefore E(0,-14)$。$B$为$y=\frac{5}{12}x + 5$与$y$轴交点，令$x=0$，得$y=5$，$\therefore B(0,5)$。
$\therefore BE=5 - (-14)=19$，$DE$在直线$y=2x - 14$上，设$Q(m,2m - 14)$，$0\leq m\leq12$。
$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}× BE× x_D=\frac{1}{2}×19×12=114$。
当$S_{\triangle BQE}:S_{\triangle BQD}=1:2$时，$\frac{1}{2}× BE× m=\frac{1}{3}×114$，即$\frac{1}{2}×19× m=38$，解得$m=4$，$\therefore Q(4,-6)$。
当$S_{\triangle BQE}:S_{\triangle BQD}=2:1$时，$\frac{1}{2}×19× m=\frac{2}{3}×114$，解得$m=8$，$\therefore Q(8,2)$。
综上，$Q(4,-6)$或$(8,2)$。
② 解：存在。设$Q(m,2m - 14)$，翻折后$D$落在坐标轴上的点$D'$。
若$D'$在$x$轴上，设$D'(n,0)$，则$BQ$垂直平分$DD'$，$\frac{10 + 0}{2}=2m - 14$，得$m=\frac{19}{2}$，$Q(\frac{19}{2},5)$。由$BQ$斜率与$DD'$斜率乘积为$-1$，$\frac{5 - 5}{\frac{19}{2}-0}×\frac{10 - 0}{12 - n}=-1$，无解。
若$D'$在$y$轴上，设$D'(0,p)$，则$\frac{12 + 0}{2}=m$，$m=6$，$Q(6,-2)$。$\frac{10 + p}{2}=-2$，$p=-14$，$D'(0,-14)$与$E$重合，符合题意。
综上，$Q(6,-2)$。
答案：
(1)$y=2x - 14$；
(2)①$(4,-6)$或$(8,2)$；②$(6,-2)$。