《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

23.(本题满分8分)甲、乙两车从A地驶向B地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早行驶2 h,并且甲车途中休息了0.5 h,如图是甲、乙两车行驶的路程y(km)与时间x(h)的函数图象.
(1)求出图中m,a的值.
(2)求出甲车行驶的路程y(km)与时间x(h)的函数表达式,并写出相应的x的取值范围.
(3)当乙车行驶多长时间时,两车恰好相距45 km?

答案： 【解析】：
(1)由题意可知，m的值为甲车出发两小时后的时间，休息了0.5小时,所以$m=1.5-0.5=1$，当$x=1.5$时，甲车处于休息阶段，所以路程并没有增加，因此$a=40$。
(2)要求甲车的函数表达式，我们需要分段求解。
当$0\leq x\leq 1$时，设甲车的路程与时间的关系为$y=kx$，
由图象知，当$x=1$时，$y=40$，代入得$k=40$，
所以，当$0\leq x\leq 1$时，$y=40x$；
当$1\lt x\leq 1.5$时，甲车休息，所以$y=40$；
当$1.5\lt x\leq 7$时，设甲车的路程与时间的关系为$y=kx+b$，
由图象知，当$x=1.5$时，$y=40$；当$x=7$时，$y=260$。
代入得：
$\{\begin{matrix}40=1.5k+b,\\260=7k+b.\end{matrix}$
解得$k=40$，$b=-20$，
所以，当$1.5\lt x\leq 7$时，$y=40x-20$。
(3)设乙车的函数表达式为$y=mx+n$，
由图象知，乙车在$x=2$时出发，$x=3.5$时行驶了$120km$，
所以有：
$\{\begin{matrix}0=2m+n,\\120=3.5m+n.\end{matrix}$
解得$m=80$，$n=-160$，
所以乙车的函数表达式为$y=80x-160$，
接下来，我们需要找到两车相距$45km$的时间点。
当$0\leq x\leq 1$时，令$40x=45$，解得$x=1.125$，但此时乙车还未出发，所以不符合题意；
当$1\lt x\leq 1.5$时，甲车路程为$40km$，乙车路程小于$40km$，两车距离不可能为$45km$；
当$1.5\lt x\leq 3.5$时，令$40x-20-(80x-160)=45$，解得$x=\frac{19}{8}$，
此时乙车行驶的时间为$\frac{19}{8}-2=\frac{3}{8}$（h）；
当$3.5\lt x\leq 7$时，令$80x-160-(40x-20)=45$，解得$x=\frac{37}{8}$，
此时乙车行驶的时间为$\frac{37}{8}-2=\frac{21}{8}$（h）。
【答案】：
(1)$m=1$，$a=40$；
(2)$y=\{ \begin{matrix} 40x(0\le x\le1), \\ 40(1\lt x\le1.5), \\ 40x-20(1.5\lt x\le7). \end{matrix} $
(3)乙车行驶$\frac{3}{8}$小时或$\frac{21}{8}$小时，两车恰好相距$45km$。

24.(本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$ y= kx+b $的图象与x轴交于点$ A(-3,0) $,与y轴交于点B,且与正比例函数$ y= \frac{4}{3}x 的图象的交点为 C(a,4) $.
(1)求a的值与一次函数$ y= kx+b $的表达式.
(2)求$ \triangle BOC $的面积.
(3)在y轴上求一点P,使$ \triangle POC $为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

答案： 【解析】：
(1) 首先，由于点$C(a, 4)$在正比例函数$y = \frac{4}{3}x$的图象上，代入得：
$4 = \frac{4}{3}a \implies a = 3$，
接着，由于点$A(-3, 0)$和点$C(3, 4)$都在一次函数$y = kx + b$的图象上，可以列出方程组：
$\begin{cases}-3k + b = 0, \\3k + b = 4,\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = \frac{2}{3}, \\b = 2,\end{cases}$
因此，一次函数的表达式为$y = \frac{2}{3}x + 2$。
(2) 由于一次函数$y = \frac{2}{3}x + 2$与$y$轴交于点$B$，代入$x = 0$，得到$y = 2$，即点$B$的坐标为$(0, 2)$。
因此，$OB$的长度为$2$。
点$C$的坐标为$(3, 4)$，所以点$C$到$y$轴的距离（即$OC$在$x$轴上的投影长度）为$3$，$\triangle BOC$的高为3，
因此，$\triangle BOC$的面积为：
$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} × OB × 3 = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。
(3) 设点$P$的坐标为$(0, y)$。
由于$\triangle POC$是等腰三角形，需要分三种情况讨论：
当$OC = OP$时，由于$OC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，则$OP = 5$，即$|y| = 5$，解得$y = \pm 5$。
当$OC = PC$时，由于点$C$的坐标为$(3, 4)$，则$PC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - y)^2} = 5$，
即：
$\sqrt{9 + (4 - y)^2} = 5$，
两边平方得：
$9 + (4 - y)^2 = 25$，
$(4 - y)^2 = 16$，
$4 - y = \pm 4$，
解得$y = 8$或$y = 0$（舍去，因为此时$P$与$O$重合）。
当$OP = PC$时，有$|y| = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - y)^2}$，
即：
$y^2 = 9 + (4 - y)^2$，
$y^2 = 9 + 16 - 8y + y^2$，
$8y = 25$，
解得$y = \frac{25}{8}$。
综上，符合条件的点$P$的坐标为$(0, 5)$，$(0, -5)$，$(0, 8)$，$(0, \frac{25}{8})$。
【答案】：
(1) $a = 3$；$y = \frac{2}{3}x + 2$。
(2) $S_{\triangle BOC} =3$。
(3) 点$P$的坐标为$(0, 5)$，$(0, -5)$，$(0, 8)$，$(0, \frac{25}{8})$。