《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

19. (本题满分6分)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y = kx + b$($k \neq 0$)与直线$l_2:y = 3x交于点A(1,a)$,与$y轴交于点B$,与$x轴交于点C\left(\frac{5}{2},0\right)$.
(1) 求直线$l_1$的函数表达式.
(2) 方程组$\begin{cases} y = 3x \\ y = kx + b \end{cases} $的解为_____.
(3) 在直线$l_2上是否存在一点P$,使得$S_{\triangle OCP} = 2S_{\triangle AOC}$?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) $y = -2x + 5$；
(2) $\begin{cases}x = 1 \\ y = 3\end{cases}$；
(3) 存在；$(2,6)$或$(-2,-6)$。

答案： 【解析】：
本题主要考查一次函数的性质、直线交点的求解以及三角形面积的计算。
(1) 首先，由于点$A(1,a)$在直线$l_2: y = 3x$上，代入得$a = 3 × 1 = 3$，所以点A的坐标为$(1,3)$。
接着，由于直线$l_1: y = kx + b$经过点$A(1,3)$和点$C\left(\frac{5}{2},0\right)$，可以建立方程组：
$\begin{cases}k + b = 3, \\ \frac{5}{2}k + b = 0.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = -2, \\b = 5.\end{cases}$
所以，直线$l_1$的函数表达式为$y = -2x + 5$。
(2) 由于直线$l_1$和$l_2$在点A相交，所以方程组的解就是点A的坐标。
因此，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 1, \\y = 3.\end{cases}$
(3) 设点P的坐标为$(m,3m)$，由于点P在直线$l_2$上。
已知$S_{\triangle OCP} = 2S_{\triangle AOC}$，
由于$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2} × \frac{5}{2} × 3 = \frac{15}{4}$，
所以$S_{\triangle OCP} = 2 × \frac{15}{4} = \frac{15}{2}$。
三角形$OCP$的底是$OC$，长度为$\frac{5}{2}$，高是点P到x轴的距离，即$|3m|$。
因此，$\frac{1}{2} × \frac{5}{2} × |3m| = \frac{15}{2}$，
解得$m = \pm 2$。
当$m=2$时，$3m=6$；
当$m=-2$时，$3m=-6$。
所以，点P的坐标为$(2,6)$或$(-2,-6)$。
【答案】：
(1) $y = -2x + 5$；
(2) $\begin{cases}x = 1, \\y = 3.\end{cases}$
(3) 存在；$(2,6)$或$(-2,-6)$。

20. (本题满分8分)某玉米种子的价格为5元/kg,如果一次购买10 kg以上的种子,超过10 kg部分的种子价格打八折.
(1) 购买8 kg种子需付款40元;购买13 kg种子需付款62元.
(2) 设购买种子$x(x ＞ 10)$kg,付款金额为$y$元,写出$y与x$之间的函数表达式.$y = 4x + 10$
(3) 张大爷第一次买了6 kg种子,第二次买了9 kg种子.如果张大爷一次性购买这些种子,那么会少花多少钱?5元

答案： 【解析】：
本题主要考查了一次函数的实际应用，特别是分段函数的应用。
(1) 对于购买8kg种子，由于8kg没有超过10kg的界限，所以直接按原价计算：$8 × 5 = 40$元。
对于购买13kg种子，前10kg按原价计算，超过的3kg按八折计算：$10 × 5 + 3 × 5 × 0.8 = 50 + 12 = 62$元。
(2) 对于购买种子$x(x ＞ 10)$kg，付款金额为$y$元，需要分段考虑：
当$x \leq 10$时，$y = 5x$；
当$x ＞ 10$时，前10kg按原价计算，超过的部分按八折计算，即$y = 10 × 5 + (x - 10) × 5 × 0.8 = 4x + 10$。
所以，$y$与$x$之间的函数表达式为：$y = \begin{cases} 5x,x \leq 10 \\4x + 10, x ＞ 10 \end{cases}$
由于题目只问$x ＞ 10$的情况，所以答案为$y = 4x + 10$。
(3) 张大爷两次购买种子的总重量为$6 + 9 = 15$kg。
如果分两次购买，需要支付的总金额为：$6 × 5 + 9 × 5 = 75$元（因为都没有超过10kg，所以都按原价计算）。
如果一次性购买15kg种子，需要支付的金额为：$10 × 5 + (15 - 10) × 5 × 0.8 = 70$元（前10kg按原价，超过的5kg按八折）。
所以，一次性购买比分两次购买少花的金额为：$75 - 70 = 5$元。
【答案】：
(1) 40；62
(2) $y = 4x + 10$
(3) 5元

21. (本题满分8分)某学校计划购买若干台电脑,现从甲、乙两商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元,并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示:
| 商场 | 优惠条件 |
| 甲 | 第一台按原价收费,其余每台优惠25% |
| 乙 | 每台优惠20% |

(1) 分别写出甲、乙两商场的收费$y$(元)与所买电脑台数$x$之间的表达式.
(2) 什么情况下,到甲商场购买更优惠?

答案： 【解析】：
(1) 由题意可知，甲商场第一台按原价收费，即6000元，其余每台优惠$25\%$，即每台价格为$6000 × (1 - 25\%) = 6000 × 0.75 = 4500$（元）。
因此，甲商场的收费$y$与所买电脑台数$x$之间的表达式为：
当$x = 1$时，$y = 6000$；
当$x ＞ 1$时，$y = 6000 + 4500(x - 1) = 4500x + 1500$。
统一表达式为：$y_{甲} = 6000 + 4500(x - 1) = 4500x + 1500$（$x$为正整数）。
乙商场每台优惠$20\%$，即每台价格为$6000 × (1 - 20\%) = 6000 × 0.8 = 4800$（元）。
因此，乙商场的收费$y$与所买电脑台数$x$之间的表达式为：
$y_{乙} = 4800x$（$x$为正整数）。
(2) 要使甲商场更优惠，即$y_{甲} ＜ y_{乙}$，则有：
$4500x + 1500 ＜ 4800x$
移项得：
$1500 ＜ 300x$
两边同时除以300，得：
$x ＞ 5$
由于$x$必须为正整数，且根据题意，当$x = 1$时，甲商场并不比乙商场优惠，因此$x$的取值应大于5。
所以，当购买电脑台数大于5时，到甲商场购买更优惠。
【答案】：
(1) $y_{甲} = 4500x + 1500$（$x$为正整数）；$y_{乙} = 4800x$（$x$为正整数）。
(2) 当购买电脑台数大于5时，到甲商场购买更优惠。