《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

18.(本题满分6分)已知一次函数$y = 2x + 1$.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数$y = 2x + 1$的图象.
(2)当$y ＞ 0$时,x的取值范围是$x \gt -\frac{1}{2}$.

答案： 【解析】：
(1) 已知一次函数 $y = 2x + 1$，
当$x=0$时，$y=1$，当$y=0$时，$x=-\frac{1}{2}$，
所以函数图象经过点$(0,1)$和$\left(-\frac{1}{2},0\right)$，
图略。
(2)要求当 $y \gt 0$ 时，$x$ 的取值范围。
由 $y = 2x + 1$ ，可得：
$2x + 1 \gt 0$，
移项得：
$2x\gt -1$，
解得：
$x \gt -\frac{1}{2}$，
所以 $x$ 的取值范围是 $x \gt -\frac{1}{2}$。
【答案】：
(1)图略；
(2) $x \gt -\frac{1}{2}$。

19.(本题满分6分)已知一次函数$y = \frac{1}{2}kx - 2k + 6$.
(1)k为何值时,它的图象经过原点？
(2)k为何值时,它的图象经过点$(0, -2)$？
(3)k为何值时,它的图象平行于直线$y = -x$？
(4)k的取值在什么范围内时,y随x的增大而减小？

答案： 【解析】：
本题主要考察一次函数的性质，包括函数图像经过的点，函数图像的平行性，以及函数的增减性。
(1) 对于函数图像经过原点，即当$x=0$时，$y=0$。将这两个值代入函数$y = \frac{1}{2}kx - 2k + 6$，即可求出$k$的值。
(2) 对于函数图像经过点$(0, -2)$，即当$x=0$时，$y=-2$。将这两个值代入函数$y = \frac{1}{2}kx - 2k + 6$，即可求出$k$的值。
(3) 对于函数图像平行于直线$y = -x$，即斜率相等。由一次函数的一般形式$y=kx+b$，我们知道斜率$k$就是一次项系数。所以，我们需要找到$k$的值使得$\frac{1}{2}k = -1$。
(4) 对于$y$随$x$的增大而减小，即函数是减函数。由一次函数的性质，我们知道当一次项系数小于0时，函数是减函数。所以，我们需要找到$k$的取值范围使得$\frac{1}{2}k ＜ 0$。
【答案】：
(1) 解：将原点坐标$(0,0)$代入函数$y = \frac{1}{2}kx - 2k + 6$，得到：
$0 = \frac{1}{2}k × 0 - 2k + 6$
$0 = -2k + 6$
$k = 3$
所以当$k = 3$时，它的图象经过原点。
(2) 解：将点$(0,-2)$代入函数$y = \frac{1}{2}kx - 2k + 6$，得到：
$-2 = \frac{1}{2}k × 0 - 2k + 6$
$-2 = -2k + 6$
$k = 4$
所以当$k = 4$时，它的图象经过点$(0, -2)$。
(3) 解：由于函数$y = \frac{1}{2}kx - 2k + 6$的图象平行于直线$y = -x$，所以它们的一次项系数必须相等，即：
$\frac{1}{2}k = -1$
$k = -2$
所以当$k = -2$时，它的图象平行于直线$y = -x$。
(4) 解：由于$y$随$x$的增大而减小，所以函数$y = \frac{1}{2}kx - 2k + 6$必须是减函数。由一次函数的性质，当一次项系数小于0时，函数是减函数。所以：
$\frac{1}{2}k ＜ 0$
$k ＜ 0$
所以当$k ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。

20.(本题满分8分)已知$y - 2与x + 1$成正比例,且当$x = 1$时,$y = -4$.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)判断点$A(-2, -7)$是否在该函数的图象上,并说明理由.
(3)当$m \leq x \leq m + 2$时,y的最小值为4,求m的值.

答案：
(1)解：设$y - 2 = k(x + 1)$（$k≠0$）。
当$x = 1$时，$y = -4$，代入得：$-4 - 2 = k(1 + 1)$，解得$k = -3$。
所以$y - 2 = -3(x + 1)$，即$y = -3x - 1$。
(2)解：点$A(-2, -7)$在该函数的图象上。
理由：当$x = -2$时，$y = -3×(-2) - 1 = 5 ≠ -7$，所以点$A$不在该函数图象上。
(3)解：函数$y = -3x - 1$中，$k = -3 ＜ 0$，$y$随$x$的增大而减小。
当$m ≤ x ≤ m + 2$时，$x = m + 2$时，$y$取最小值。
则$-3(m + 2) - 1 = 4$，解得$m = -3$。