《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

7. 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC= 6 cm,BC= 9 cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为 (D)
A.$\frac{25}{4}$ cm
B.$\frac{22}{3}$ cm
C.$\frac{7}{4}$ cm
D.$\frac{5}{2}$ cm

答案： 【解析】：本题可根据折叠的性质得到线段之间的关系，再结合勾股定理列出方程，进而求解$CD$的长度。
步骤一：根据折叠性质得到线段关系
因为将$\triangle ABC$折叠，使点$B$与点$A$重合，折痕为$DE$，所以$DE$是$AB$的垂直平分线。
根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得$AD = BD$。
设$CD = x cm$，已知$BC = 9 cm$，那么$BD = BC - CD = (9 - x) cm$，所以$AD = (9 - x) cm$。
步骤二：在$Rt\triangle ACD$中运用勾股定理列方程
在$Rt\triangle ABC$中，两直角边$AC = 6 cm$，$BC = 9 cm$，根据勾股定理$AB^2=AC^2 + BC^2$，可得$AB=\sqrt{6^{2}+9^{2}}=\sqrt{36 + 81}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}cm$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AC = 6 cm$，$CD = x cm$，$AD = (9 - x) cm$，再根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}$，可列出方程$(9 - x)^{2}=6^{2}+x^{2}$。
步骤三：解方程求出$CD$的长度
对$(9 - x)^{2}=6^{2}+x^{2}$进行求解：
$\begin{aligned}81 - 18x + x^{2}&= 36 + x^{2}\\81 - 36&= 18x + x^{2} - x^{2}\\45&= 18x\\x&=\frac{45}{18}\\x&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
所以$CD$的长为$\frac{5}{2} cm$。
【答案】：D

8. 如图为等腰直角三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形,其中∠A= 90°,D为AB的中点,连接CF. 若AB= $4\sqrt{2}$,DE= $\sqrt{5}$,则△EFC的面积为 ( B )

A.4
B.$\frac{5}{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{5}$

答案： 解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=4√2，
∴AB=AC=4√2，∠B=∠C=45°，BC=√[(4√2)²+(4√2)²]=8。
∵D为AB中点，
∴AD=BD=2√2。
设BE=x，过D作DH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴DH=BH=BD·sin45°=2√2×(√2/2)=2，
∴HE=|BH-BE|=|2-x|。
∵四边形DEFG是正方形，DE=√5，
∴DE=√(DH²+HE²)=√(2²+(2-x)²)=√5，
解得x=1或x=3（x=3时E在H右侧，HE=3-2=1，代入验证成立）。
当x=1时，BE=1，EC=BC-BE=7；
当x=3时，BE=3，EC=BC-BE=5。
过F作FK⊥BC于K，
∵∠DEF=90°，∠DEH+∠FEK=90°，∠DEH+∠EDH=90°，
∴∠FEK=∠EDH，
∴△DEH≌△EFK（AAS），
∴FK=EH=1，EK=DH=2，
∴FK=1。
当EC=5时，S△EFC=1/2×EC×FK=1/2×5×1=5/2；
当EC=7时，S△EFC=1/2×7×1=7/2（选项无此答案，舍去）。
综上，△EFC的面积为5/2。
答案：B

9. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,① 若a= 5,b= 12,则c= 13；② 若a= 12,c= 20,则b= 16；③ 若c= 61,b= 60,则a= 11.

答案： 解：①
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12
∴由勾股定理得c=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25 + 144}=\sqrt{169}=13$
②
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，c=20
∴由勾股定理得b=$\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=\sqrt{400 - 144}=\sqrt{256}=16$
③
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，c=61，b=60
∴由勾股定理得a=$\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{61^{2}-60^{2}}=\sqrt{3721 - 3600}=\sqrt{121}=11$
13；16；11

10. 直角三角形两直角边长分别是5 cm,12 cm,则其斜边上的高为$\frac{60}{13}$cm.

答案： 解：设直角三角形两直角边为$a = 5\,cm$，$b = 12\,cm$，斜边为$c$，斜边上的高为$h$。
由勾股定理得：$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,cm$。
三角形面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\,cm^2$。
又$S = \frac{1}{2}ch$，则$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 × 30}{13} = \frac{60}{13}\,cm$。
$\frac{60}{13}$

11. 如图,在四边形ABCD中,∠DAB= 90°,AB= 3,AD= 4,BC= 12,CD= 13,则四边形ABCD的面积为36.

答案： 解：连接BD。
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AB=3，AD=4，
由勾股定理得：BD²=AD²+AB²=4²+3²=25，
∴BD=5。
在△BCD中，BC=12，CD=13，BD=5，
∵5²+12²=13²，即BD²+BC²=CD²，
∴△BCD是直角三角形，∠CBD=90°。
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=½×AD×AB+½×BD×BC=½×4×3+½×5×12=6+30=36。
36

12. 如图所示的网格是正方形网格,点A,B,C均在格点上,则∠BAC+∠BCA= 45°.

答案： 【解析】：
本题考查勾股定理逆定理的应用，可通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理来求解$\angle BAC + \angle BCA$的值。
步骤一：构造全等三角形
观察图形，可通过延长$CA$至点$D$，使得$AD = AB$，连接$BD$。
设小正方形的边长为$1$，根据勾股定理分别计算相关线段的长度：
$AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$；
$BC=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$；
$AC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
$AD = AB=\sqrt{5}$，则$CD=AC + AD=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$；
$BD=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
在$\triangle ABD$中，$AB = AD$，所以$\angle ABD=\angle ADB$。
又因为$\angle BAD = 180^{\circ}-2\angle ABD$，且$\angle BAC + \angle BAD = 180^{\circ}$，所以$\angle BAC = 2\angle ABD$。
步骤二：证明$\triangle ABD$与$\triangle BCE$全等
过点$B$作$BE\perp CD$于点$E$，可计算出$CE=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}=BD$，$BE = 2$，$DE = 1$。
在$\triangle ABD$和$\triangle BCE$中：
$\begin{cases}AD = BE = \sqrt{5}\\BD = CE=\sqrt{2}\\\angle ADB=\angle BEC = 90^{\circ}\end{cases}$
根据$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）定理，可得$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle BCE$。
步骤三：根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求解$\angle BAC + \angle BCA$的值
由$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle BCE$可得$\angle ABD=\angle BCE$。
因为$\angle BAC = 2\angle ABD$，所以$\angle BAC = 2\angle BCE$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ}$。
又因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ}-\angle ABC = 180^{\circ}- 90^{\circ}=45^{\circ}$。
【答案】：$45^{\circ}$

13. 一个直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长c= 2,则$a^2 + b^2 + c^2$的值为______8.

答案： 解：在直角三角形中，根据勾股定理，得$a^2 + b^2 = c^2$。
已知$c = 2$，则$c^2 = 2^2 = 4$，所以$a^2 + b^2 = 4$。
因此$a^2 + b^2 + c^2 = 4 + 4 = 8$。
8