《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

11. 如图,BD是△ABC的中线,AB= 5,BC= 3,且△ABD的周长为12,则△BCD的周长是______.

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答案： 【解析】：
本题考查三角形中线的性质，利用中线性质求出$AD$与$CD$的关系，再结合已知$\triangle ABD$的周长求出$\triangle BCD$的周长。
步骤一：明确三角形中线的定义和性质
三角形中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。已知$BD$是$\triangle ABC$的中线，根据中线的性质可知，$D$为$AC$中点，即$AD = CD$。
步骤二：分析$\triangle ABD$和$\triangle BCD$的周长组成
$\triangle ABD$的周长为$AB + BD + AD$，已知$\triangle ABD$的周长为$12$，$AB = 5$，则$AB + BD + AD = 12$，把$AB = 5$代入可得$5 + BD + AD = 12$，移项得到$BD + AD = 12 - 5 = 7$。
$\triangle BCD$的周长为$BC + BD + CD$。
步骤三：根据$AD = CD$求出$\triangle BCD$的周长
因为$AD = CD$，且$BD + AD = 7$，所以$BD + CD = 7$。
又已知$BC = 3$，那么$\triangle BCD$的周长$BC + BD + CD = 3 + 7 = 10$。
【答案】：$10$

12. 如图,将一副三角板按图中的方式叠放,则∠α= ______.

75°

答案： 【解析】：
本题主要考查三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
从图中可以看出，$∠α$是三角板的一个外角，它等于与它不相邻的两个内角之和，即$45°$和$30°$。
因此，可以直接计算$∠α$的度数。
【答案】：
$∠α = 45° + 30° = 75°$；
故答案为：$75°$。

13. 已知一个三角形的三条边的长分别是5,7,10,另一个三角形的三条边的长分别是5,2x+1,3x+1. 若这两个三角形全等,则x的值是______3.

答案： 解：
情况一：$\begin{cases}2x + 1 = 7 \\ 3x + 1 = 10\end{cases}$
解$2x + 1 = 7$得$x = 3$，代入$3x + 1 = 3×3 + 1 = 10$，成立。
情况二：$\begin{cases}2x + 1 = 10 \\ 3x + 1 = 7\end{cases}$
解$2x + 1 = 10$得$x = 4.5$，代入$3x + 1 = 3×4.5 + 1 = 14.5 ≠ 7$，不成立。
综上，$x = 3$。
答案：3

14. 如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,AB= 8.5,DO= 2,平移距离为4,则阴影部分的面积为______30.

答案： 【解析】：本题考查全等三角形和平移的性质，通过平移距离找到相等线段，利用面积相等关系求解阴影部分面积。
因为两个三角形全等，平移距离为$4$，即$BE = 4$。
已知$AB = 8.5$，$DO = 2$，那么$DE=AB = 8.5$，所以$OE=DE - DO=8.5 - 2 = 6.5$。
由于$\triangle ABC$平移到$\triangle DEF$，所以$\triangle ABC$与$\triangle DEF$面积相等。
那么阴影部分面积等于梯形$ABEO$的面积。
梯形面积公式为$S=\dfrac{(a + b)h}{2}$（其中$a$、$b$ 为梯形的上底和下底，$h$为梯形的高）。
在梯形$ABEO$中，上底$OE = 6.5$，下底$AB = 8.5$，高$BE = 4$。
将数值代入梯形面积公式可得：$S_{梯形ABEO}=\dfrac{(6.5 + 8.5)× 4}{2}$
$=\dfrac{15× 4}{2}$
$= 30$
所以阴影部分面积为$30$。
【答案】：$30$

15. 如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且$S△ABC= 4 cm^2,$则阴影部分的面积为$1cm^2.$

答案： 解：
∵D为BC中点，S△ABC=4cm²，
∴S△ABD=S△ADC=1/2S△ABC=2cm²。
∵E为AD中点，
∴S△BED=1/2S△ABD=1cm²，S△CED=1/2S△ADC=1cm²。
∴S△BEC=S△BED+S△CED=2cm²。
∵F为CE中点，
∴S△BEF=1/2S△BEC=1cm²。
1

16. 如果三角形的两个内角α与β满足2α+β= 90°,那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠ABC= 50°,P是射线CB上一点,且△ABP是“准直角三角形”,则∠APB的所有可能的度数为______.

答案： 解：在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=50°，则∠BAC=40°。
P在射线CB上，分两种情况：
情况1：P在CB延长线上
设∠APB=x，∠BAP=y，则∠ABP=180°-50°=130°，x+y=50°。
若2x+y=90°，联立x+y=50°，解得x=40°；
若x+2y=90°，联立x+y=50°，解得x=10°；
若2×130°+x=90°（舍），2×130°+y=90°（舍）。
情况2：P在CB上（不与B重合）
设∠APB=x，∠BAP=y，则∠ABP=50°，x+y=130°。
若2x+y=90°（舍，x+y=130°且x＞0，y＞0）；
若x+2y=90°，联立x+y=130°，解得y=-40°（舍）；
若2×50°+x=90°，解得x=-10°（舍）；
若2×50°+y=90°，解得y=-10°（舍）。
综上，∠APB=10°或40°。
答案：10°，40°

17. (本题满分8分)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高线.
(1)CD＜AC.(填“＞”或“＜”)
(2)AC+BC＞AB.(填“＞”或“＜”)
(3)若E是线段AB上的一个动点,连接CE,则CD≤CE.(填“≥”或“≤”)

答案： 【解析】：
本题主要考查了直角三角形的性质以及垂线段最短的性质。
（1）在直角三角形中，斜边上的高线一定小于斜边以外的任何一条边（直角边），因为$CD$是$Rt\bigtriangleup ABC$斜边$AB$上的高线，$AC$为直角边，所以$CD＜AC$。
（2）根据三角形两边之和大于第三边的性质，在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$AC$和$BC$为两直角边，$AB$为斜边，所以$AC + BC＞AB$。
（3）因为$CD$是$AB$边上的高线，根据垂线段最短的性质，当$E$与$D$重合时，$CE$取得最小值$CD$，当$E$不与$D$重合时，$CE＞CD$，所以$CD\leq CE$。
【答案】：
(1)$＜$
(2)$＞$
(3)$\leq$