《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

7. 正比例函数$y = kx与一次函数y = -kx + k$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(A)

答案： 解：当$k＞0$时，正比例函数$y=kx$的图象过一、三象限；一次函数$y=-kx + k$中，$-k＜0$，$k＞0$，图象过一、二、四象限。
当$k＜0$时，正比例函数$y=kx$的图象过二、四象限；一次函数$y=-kx + k$中，$-k＞0$，$k＜0$，图象过一、三、四象限。
观察选项，A符合$k＞0$时的情况。
A

8. 如图,从光源A发出一束光,经x轴上的一点$B(-4, 0)$反射后,得到光线BC,光线BC经y轴上一点C反射后,得到光线CD. 若$AB // CD$,且光线AB所在直线的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + b$,则光线CD所在直线的函数表达式为(D)
A.$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$
B.$y = \frac{1}{2}x + 2$
C.$y = -2x + 2$
D.$y = -\frac{1}{2}x + 2$

答案： 解：
∵点$B(-4,0)$在直线$AB:y=-\frac{1}{2}x+b$上，
∴$0=-\frac{1}{2}×(-4)+b$，解得$b=-2$，
∴直线$AB$的表达式为$y=-\frac{1}{2}x-2$。
设直线$AB$与$y$轴交于点$E$，则$E(0,-2)$。
由光的反射性质，直线$BC$与$x$轴的夹角等于直线$AB$与$x$轴的夹角，
设直线$BC$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+m$（斜率与$AB$互为相反数）。
∵点$B(-4,0)$在直线$BC$上，
∴$0=\frac{1}{2}×(-4)+m$，解得$m=2$，
∴直线$BC$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$，则点$C(0,2)$。
∵$AB// CD$，
∴直线$CD$的斜率与$AB$相同，为$-\frac{1}{2}$。
设直线$CD$的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+n$，
∵点$C(0,2)$在直线$CD$上，
∴$2=-\frac{1}{2}×0+n$，解得$n=2$。
∴光线$CD$所在直线的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
答案：D

9. 已知函数$y = (m - 2)x^{m^2 - 3} - 5$是一次函数,则$m = $$-2$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一次函数的定义。
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，且 $k \neq 0$。
对于给定的函数 $y = (m - 2)x^{m^2 - 3} - 5$，要使其为一次函数，需要满足两个条件：
$m - 2 \neq 0$，即 $m \neq 2$，以确保系数不为零；
$m^2 - 3 = 1$，以确保 $x$ 的指数为 1，从而函数是一次函数。
解这个方程 $m^2 - 3 = 1$，得到 $m^2 = 4$，进一步解得 $m = \pm 2$。
但由于 $m - 2 \neq 0$，所以 $m \neq 2$，只剩下 $m = -2$。
【答案】：
$m = -2$

10. 在函数$y = kx + b$中,常数$k ＞ 0$,$b ＜ 0$,则这个函数的图象不经过第二象限.

答案： 解：在一次函数$y = kx + b$中，
因为$k＞0$，所以函数图象从左到右上升，经过第一、三象限；
又因为$b＜0$，所以函数图象与$y$轴交于负半轴，
综上，函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
答案：二

11. 若点$A(4, y_1)$,$B(6, y_2)都在函数y = (-a^2 - 1)x + 2$的图象上,则$y_1$＞$y_2$(填“＞”或“＜”).

答案： 【解析】：
本题主要考察一次函数的单调性。
因为一次函数$y=kx+b$，当$k＞0$时，函数为增函数，即$x$增大时，$y$也增大；当$k＜0$时，函数为减函数，即$x$增大时，$y$减小。
对于给定的函数$y=(-a^2-1)x+2$，其斜率$k=-a^2-1$。
由于$a^2$总是非负的，所以$-a^2$总是非正的，那么$-a^2-1$一定小于$0$。
因此，函数$y=(-a^2-1)x+2$是一个减函数。
根据减函数的性质，当$x$的值从$4$增大到$6$时，$y$的值会减小。
所以，当$x=4$时，$y=y_1$；当$x=6$时，$y=y_2$。
由于$4＜6$，且函数是减函数，因此有$y_1＞y_2$。
【答案】：
＞

12. 在平面直角坐标系xOy中,点A(x, y)在第二象限,且x,y满足$\frac{1}{2}x + y = 4$,已知点$B(8, 0)$,$\triangle OAB$的面积为20,则点A的坐标为(-2,5).

答案： 解：因为点A(x,y)在第二象限，所以x＜0，y＞0。
由$\frac{1}{2}x + y = 4$，得$y = 4 - \frac{1}{2}x$。
点B(8,0)，所以OB=8。
$\triangle OAB$的面积为$\frac{1}{2}×OB×|y_A| = 20$（y_A为点A的纵坐标，因y＞0，|y_A|=y），即$\frac{1}{2}×8×y = 20$，解得$y = 5$。
将$y = 5$代入$y = 4 - \frac{1}{2}x$，得$5 = 4 - \frac{1}{2}x$，解得$x = -2$。
所以点A的坐标为(-2,5)。
答案：(-2,5)