《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

1. 一个等腰三角形的两边长分别为3,6,则这个等腰三角形的周长是(C)
A.12
B.12或15
C.15
D.无法确定

答案： 【解析】：
本题主要考察等腰三角形的性质和三角形的三边关系。
首先，我们考虑等腰三角形的两种可能情况：
1. 当3为腰长时，三角形的三边分别为3、3、6。但根据三角形的三边关系，任意两边之和应大于第三边，这里$3 + 3 = 6$，并不满足三角形的三边关系。
2. 当3为底边时，三角形的三边分别为3、6、6。这里满足三角形的三边关系，因为$3 + 6 ＞ 6$，$6 + 6 ＞ 3$，且$6 - 3 ＜ 6$。
因此，只有第二种情况能构成三角形，其周长为$3 + 6 + 6 = 15$。
【答案】：
C. $15$

2. 如图,在△ABC中,∠A= 58°,O是边AB,AC的垂直平分线的交点,则∠BCO的度数为(B)
A.28°
B.32°
C.36°
D.40°

答案： 解：连接OA、OB。
∵O是AB、AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA。
∵∠BAC=58°，
∴∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=58°。
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=122°，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB-(∠OBA+∠OCA)=122°-58°=64°。
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=64°÷2=32°。
答案：B

3. 如图,在△ABC中,∠C= 31°,∠ABC的平分线BD交AC于点D.如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为(A)

A.87°
B.62°
C.90°
D.93°

答案： 【解析】：本题可根据线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理来求解$\angle A$的度数。
步骤一：根据线段垂直平分线的性质得到相关线段和角的关系
因为$DE$垂直平分$BC$，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以可得$BD = CD$。
由于$BD = CD$，那么$\triangle BCD$是等腰三角形，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以$\angle DBC = \angle C$。
已知$\angle C = 31^{\circ}$，所以$\angle DBC = 31^{\circ}$。
步骤二：根据角平分线的性质求出$\angle ABC$的度数
因为$BD$平分$\angle ABC$，根据角平分线的性质：角平分线将一个角分成两个相等的角，所以$\angle ABC = 2\angle DBC$。
由$\angle DBC = 31^{\circ}$，可得$\angle ABC = 2×31^{\circ} = 62^{\circ}$。
步骤三：根据三角形内角和定理求出$\angle A$的度数
根据三角形内角和定理：三角形的内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$。
将$\angle ABC = 62^{\circ}$，$\angle C = 31^{\circ}$代入上式，可得$\angle A = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle C = 180^{\circ} - 62^{\circ} - 31^{\circ} = 87^{\circ}$。
【答案】：A

4. 如图,在△ABC中,延长BA,BC,∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP交于点P,作PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中正确的个数是( )C

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵AP平分∠EAC，PM⊥BE，PD⊥AC，
∴PM=PD，
∵BP平分∠ABC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，
∴PD=PN，又PD⊥AC，PN⊥BF，
∴CP平分∠ACF，①正确；
②设∠ABP=∠CBP=α，∠EAP=∠CAP=β，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∴2β=2α+∠ACB，即∠ACB=2(β-α)，
∠APC=180°-β-∠ACP，∠ACP=∠ACF/2=(180°-∠ACB)/2=90°-(β-α)，
∴∠APC=180°-β-[90°-(β-α)]=90°-α，
∴∠ABC+2∠APC=2α+2(90°-α)=180°，②正确；
③∠APB=180°-α-β，∠ACB=2(β-α)，
若∠ACB=2∠APB，则2(β-α)=2(180°-α-β)，得β=90°，无依据，③错误；
④S△MAP=1/2·AM·PM，S△NCP=1/2·CN·PN，S△PAC=1/2·AC·PD，
∵PM=PN=PD，AM+CN=AC（角平分线性质及线段和差），
∴S△MAP+S△NCP=1/2·(AM+CN)·PM=1/2·AC·PD=S△PAC，④正确；
综上，正确的有①②④，共3个，选C。
答案：C

5. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S_{△ABC}= 9,DE= 2,AB= 5,则AC的长是(C)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 【解析】：本题可根据三角形面积公式以及角平分线的性质来求解$AC$的长。
步骤一：根据三角形面积公式求出$\triangle ABD$的面积
已知$DE\perp AB$，$DE = 2$，$AB = 5$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，对于$\triangle ABD$，以$AB$为底，$DE$为高，则$\triangle ABD$的面积为：
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×5×2 = 5$
步骤二：求出$\triangle ACD$的面积
已知$S_{\triangle ABC}=9$，由$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$，可得$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ABD}=9 - 5 = 4$。
步骤三：根据角平分线的性质得到$AC$边上的高
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE\perp AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点$D$到$AC$的距离等于$DE$，即$AC$边上的高也为$2$。
步骤四：根据三角形面积公式求出$AC$的长
设$AC$边上的高为$h$，则$h = 2$，对于$\triangle ACD$，以$AC$为底，$h$为高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× AC× h$，即$4=\frac{1}{2}× AC×2$，解方程可得：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}× AC×2&=4\\AC&=4\end{aligned}$
【答案】：C