《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

7. 如图,EF是线段BC的垂直平分线,交BC于点D,A是直线EF上一动点,它从点D出发沿射线DE方向运动,当$\angle BAC减少x^{\circ}$时,$\angle ABC增加y^{\circ}$,则y与x的函数表达式是 ( B )
A.$y= x$
B.$y= \frac{1}{2}x$
C.$y= 90-x$
D.$y= 90-\frac{1}{2}x$

答案： 【解析】：本题可根据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理来求解$y$与$x$的函数表达式。
步骤一：根据线段垂直平分线的性质得到$AB$与$AC$的关系
因为$EF$是线段$BC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以$AB = AC$，那么$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle ABC = \angle ACB$。
步骤二：根据三角形内角和定理列出等式
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$，又因为$\angle ABC = \angle ACB$，所以$\angle BAC + 2\angle ABC = 180^{\circ}$，移项可得$\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)$。
步骤三：分析$\angle BAC$减少$x^{\circ}$，$\angle ABC$增加$y^{\circ}$后的等式
当$\angle BAC$减少$x^{\circ}$时，此时$\angle BAC$变为$\angle BAC - x^{\circ}$；$\angle ABC$增加$y^{\circ}$时，此时$\angle ABC$变为$\angle ABC + y^{\circ}$。
此时依然满足三角形内角和定理，即$(\angle BAC - x^{\circ}) + 2(\angle ABC + y^{\circ}) = 180^{\circ}$，展开可得$\angle BAC - x^{\circ} + 2\angle ABC + 2y^{\circ} = 180^{\circ}$。
步骤四：结合前面的等式求出$y$与$x$的关系
由$\angle BAC + 2\angle ABC = 180^{\circ}$，将其代入$\angle BAC - x^{\circ} + 2\angle ABC + 2y^{\circ} = 180^{\circ}$中，可得：
$180^{\circ}- x^{\circ} + 2y^{\circ} = 180^{\circ}$
移项可得$2y^{\circ}=x^{\circ}$，即$y = \frac{1}{2}x$。
【答案】：B

8. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(0,3)$,$B(5,3)$,$C(5,0)$,点D在线段OA上,将$\triangle ABD$沿着直线BD折叠,点A的对应点为E,当点E在线段OC上时,AD的长是 (D)
A.1
B.$\frac{4}{3}$
C.2
D.$\frac{5}{3}$

答案： 解：设 $ AD = x $，则 $ OD = OA - AD = 3 - x $。
由折叠性质得：$ BE = BA = 5 $，$ DE = AD = x $。
因为 $ B(5,3) $，$ C(5,0) $，所以 $ BC = 3 $，$ OC = 5 $。
设 $ OE = a $，则 $ EC = OC - OE = 5 - a $。
在 $ Rt\triangle BEC $ 中，$ EC^2 + BC^2 = BE^2 $，即 $ (5 - a)^2 + 3^2 = 5^2 $，解得 $ a = 1 $（$ a = 9 $ 舍去），故 $ OE = 1 $。
在 $ Rt\triangle DOE $ 中，$ OE^2 + OD^2 = DE^2 $，即 $ 1^2 + (3 - x)^2 = x^2 $，解得 $ x = \frac{5}{3} $。
答案：D

9. 在函数$y= \sqrt{x+2}$中,自变量x的取值范围是$x \geq -2$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式有意义的条件，即被开方数需要大于等于0。
对于函数$y= \sqrt{x+2}$，为了保证其有意义，我们需要确保$x+2 \geq 0$。
解这个不等式，我们得到$x \geq -2$。
因此，自变量$x$的取值范围是$x \geq -2$。
【答案】：
$x \geq -2$。

10. 在平面直角坐标系中,点$P(-3,4)$到y轴的距离为3.

答案： 【解析】：
本题主要考察平面直角坐标系中点到轴的距离计算。在平面直角坐标系中，一个点到$y$轴的距离等于该点的横坐标的绝对值。
【答案】：
解：点$P(-3,4)$的横坐标为$-3$，其绝对值为$|-3| = 3$。
所以，点$P(-3,4)$到$y$轴的距离为$3$。
故答案为：$3$。

11. 如图,在等腰三角形ABC中,$AB= AC$,$\angle A= 40^{\circ}$,边AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则$\angle EBC= $30°.

答案： 解：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)/2=(180°-40°)/2=70°.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-40°=30°.
30°

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,AD平分$\angle BAC$,$AB= 6$,$CD= 2$,则$\triangle ABD$的面积是______.

答案： 解：过点D作DE⊥AB于点E。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=2（角平分线的性质）。
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DE=$\frac{1}{2}$×6×2=6。
6