《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

18. (本题满分6分)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC= 4,BC= 3,BD= $\frac{9}{5}$.
(1)求CD的长.
(2)求AD的长.
(3)求AB的长.
(4)求证:△ABC是直角三角形.

答案： 【解析】：
(1)要求$CD$的长，我们可以利用勾股定理在直角三角形$BCD$中求解。
已知$BC=3$，$BD=\frac{9}{5}$，根据勾股定理，有$CD^2 = BC^2 - BD^2$，代入数值即可求出$CD$。
(2)要求$AD$的长，同样可以利用勾股定理在直角三角形$ACD$中求解。
已知$AC=4$，第一问已经求出$CD$，根据勾股定理，有$AD^2 = AC^2 - CD^2$，代入数值即可求出$AD$。
(3)要求$AB$的长，根据$AB = AD + BD$，代入前面求出的$AD$和题目给出的$BD$即可求出$AB$。
(4)要证明$\bigtriangleup ABC$是直角三角形，我们可以利用勾股定理的逆定理。
如果$AC^2 + BC^2 = AB^2$，则$\bigtriangleup ABC$是直角三角形。代入前面求出的各边长度进行验证即可。
【答案】：
(1)解：在$Rt\bigtriangleup BCD$中，
$CD = \sqrt{BC^2 - BD^2}$
$= \sqrt{3^2 - (\frac{9}{5})^2}$
$= \sqrt{9 - \frac{81}{25}}$
$= \sqrt{\frac{225 - 81}{25}}$
$= \sqrt{\frac{144}{25}}$
$= \frac{12}{5}$
(2)解：在$Rt\bigtriangleup ACD$中，
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2}$
$= \sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2}$
$= \sqrt{16 - \frac{144}{25}}$
$= \sqrt{\frac{400 - 144}{25}}$
$= \sqrt{\frac{256}{25}}$
$= \frac{16}{5}$
(3)解：$AB = AD + BD$
$= \frac{16}{5} + \frac{9}{5}$
$= 5$
(4)证明：
$AC^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$AB^2 = 5^2 = 25$
$\because AC^2 + BC^2 = AB^2$
$\therefore \bigtriangleup ABC$是直角三角形。

19. (本题满分6分)如图,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 3,AC= 5,D为边BC的中点.
(1)求BD,AD的长.
(2)将△ABC折叠,使点A与点D重合,得到折痕交AB于点E,交AC于点F,求AE,BE的长度.

答案： 【解析】：本题主要考查了勾股定理的应用以及折叠的性质。
（1）在直角三角形$ABC$中，利用勾股定理求出$BC$的长度，由于D是BC的中点，可以求出$BD$的长度，再利用勾股定理求出$AD$的长度。
（2）根据折叠的性质，可以得到$AE=DE$，设$BE=x$，则$AE=DE=3-x$，在直角三角形$BDE$中，利用勾股定理列出关于$x$的方程，解方程即可求出$BE$的长度，进而求出$AE$的长度。
【答案】：解：（1）在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle B=90^\circ$，$AB=3$，$AC=5$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\because D$为$BC$中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2$，
在$Rt\bigtriangleup ABD$中，
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
所以$BD$长为$2$，$AD$长为$\sqrt{13}$。
（2）设$BE=x$，则$AE=DE=3-x$，
在$Rt\bigtriangleup EBD$中，
$ED^2=EB^2+BD^2$，
即$(3-x)^2=x^2+2^2$，
$9-6x+x^2=x^2+4$，
$-6x=-5$，
$x=\frac{5}{6}$，
则$AE=3-x=\frac{13}{6}$。
所以$AE$长为$\frac{13}{6}$，$BE$长为$\frac{5}{6}$。

20. (本题满分8分)如图,在倾斜角为45°(即∠NMP= 45°)的山坡MN上有一棵树AB,由于大风,该树从点E处折断,其树顶B恰好落在另一棵树CD的根部C处,已知AE= 1 m,AC= $\sqrt{18}$ m.
(1)求这两棵树的水平距离CF.
(2)求树AB的高度.

答案：
(1)过点A作AF⊥MP于点F，
∵∠NMP=45°，AF⊥MP，
∴∠FAM=45°，△AFM为等腰直角三角形，
设CF=x，AF=FM=y，则CM=FM - CF=y - x，
在Rt△AFC中，AC²=AF² + CF²，即(√18)²=y² + x²，得y² + x²=18①，
∵∠NMP=45°，CD⊥MP，
∴△CDM为等腰直角三角形，CD=CM=y - x，
由题意知树AB折断后EB=EC，AB=AE + EB=1 + EC，
EB=EC，AE=1，
∴EC=AB - 1，
又AB=AE + EB=1 + EC，且EB=EC，
在Rt△EFC中，EC²=EF² + CF²，EF=CD - AF=(y - x) - y=-x（此处修正：EF=AF - CD=y - (y - x)=x），
∴EC²=x² + x²=2x²，
由①y² + x²=18，且y=x（△AFM等腰直角三角形AF=FM=y，CF=x，FM=FC + CM=x + (y - x)=y， consistent），
∴x² + x²=18，2x²=18，x²=9，x=3（x＞0），
故CF=3m；
(2)由
(1)x=3，EC²=2x²=18，EC=3√2，
AB=AE + EC=1 + 3√2，
答：
(1)水平距离CF为3m；
(2)树AB高度为(1 + 3√2)m。
（注：原解析中EF计算有误，修正后EF=AF - CD=y - (y - x)=x，进而EC²=x² + x²=2x²，结合AC²=18及y=x解得x=3，EC=3√2，AB=1 + 3√2）
最终答案：
(1)3m；
(2)(1 + 3√2)m。