《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

15. 已知直线$y= 2x + 1与y= -x + b的交点为(-1,a)$,则关于x,y的方程组$\begin{cases} y - 2x= 1 \\ y + x= b \end{cases} $的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=-1 \end{cases}$.

答案： 解：因为直线$y = 2x + 1$与$y = -x + b$的交点为$(-1,a)$，
将$x=-1$代入$y = 2x + 1$，得$a=2×(-1)+1=-1$，
所以交点坐标为$(-1,-1)$，
而方程组$\begin{cases} y - 2x= 1 \\ y + x= b \end{cases}$可变形为$\begin{cases} y=2x + 1 \\ y=-x + b \end{cases}$，
所以方程组的解就是两直线的交点坐标，
即$\begin{cases} x=-1 \\ y=-1 \end{cases}$
答案：$\begin{cases} x=-1 \\ y=-1 \end{cases}$

16. 已知关于x,y的方程组$\begin{cases} y= ax + 2 \\ y= bx - 1 \end{cases} 的解\begin{cases} x= 1 \\ y= 2 \end{cases} 适合一次函数y= kx + 1$,则$a + b + k= $4.

答案： 【解析】：
首先，将已知的解$x=1, y=2$代入方程组
$\begin{cases}y = ax + 2 \\y = bx - 1\end{cases}$
得到：
$\begin{cases}2 = a × 1 + 2 \\2 = b × 1 - 1\end{cases}$
解这两个方程，可以得到：
从第一个方程 $2 = a + 2$ 可得 $a = 0$；
从第二个方程 $2 = b - 1$ 可得 $b = 3$。
接着，将已知的解$x=1, y=2$代入一次函数$y = kx + 1$，得到：
$2 = k × 1 + 1$
解这个方程，可以得到 $k = 1$。
最后，求$a + b + k$的值：
$a + b + k = 0 + 3 + 1 = 4$
【答案】：
$4$

17. (本题满分6分)用图象法解方程组:$\begin{cases} x - y= 5 \\ x + y= 3 \end{cases} $

答案： 【解析】：
本题考查的是用一次函数的图象求解二元一次方程组。
两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，
因此，需要先将方程组中的两个方程转化为一次函数形式，
然后画出它们的图象，找到交点，从而得到方程组的解。
对于方程$x - y = 5$，可以转化为$y = x - 5$，
对于方程$x + y = 3$，可以转化为$y = -x + 3$，
在坐标系中画出这两个一次函数的图象，找到它们的交点，
交点的横坐标就是方程组的第一个解，纵坐标就是方程组的第二个解。
【答案】：
方程$x - y = 5$转化为$y = x - 5$，
方程$x + y = 3$转化为$y = -x + 3$，
画出这两个一次函数的图象，找到它们的交点为$(4, -1)$，
$\therefore$ 方程组的解为：
$\begin{cases}x = 4 \\y = -1\end{cases}$。

18. (本题满分10分)小美计划购买某种水果,通过市场调查得知:在甲店购买水果的费用$y_{1}$(元)与该水果的质量$x(kg)$之间的关系如图所示;在乙店购买该水果的费用$y_{2}$(元)与该水果的质量$x(kg)之间的函数表达式为y_{2}= 12x(x\geqslant0)$.
(1)求$y_{1}$与x之间的函数表达式.
(2)现计划用150元购买该水果,选甲、乙哪家店,能购买该水果更多一些?通过计算说明理由.

答案： 【解析】：
本题主要考查一次函数的图像和性质，以及通过函数关系式求解实际问题。
（1）要求$y_1$与$x$之间的函数表达式，需要根据图像分段来求。
当$0\leq x\leq5$时，函数图像是一条过原点的直线，设$y_1=k_1x$（$k_1\neq0$），把$x=5$，$y_1=75$代入可得$k_1$的值，进而得到此段函数表达式；
当$x\gt5$时，设$y_1=k_2x+b$（$k_2\neq0$），把$x=5$，$y_1=75$和$x=10$，$y_1=120$代入，通过解方程组求出$k_2$和$b$的值，得到此段函数表达式。
（2）要比较在甲、乙哪家店用$150$元能购买更多水果，需要分别求出在甲、乙两店$150$元能购买水果的质量。
对于乙店，已知$y_2 = 12x$，令$y_2=150$，求出$x$的值；对于甲店，根据（1）中求出的函数表达式，分情况讨论，当$0\leq x\leq5$时，令$y_1=150$看是否在此范围内，当$x\gt5$时，令$y_1=150$求出$x$的值，最后比较在两店购买水果的质量大小。
【答案】：
(1)当$0\leq x\leq5$时，设$y_{1}=k_{1}x(k_{1}\neq0)$，
把$x = 5$，$y_{1}=75$代入$y_{1}=k_{1}x$，
得$75 = 5k_{1}$，
解得$k_{1}=15$，
所以$y_{1}=15x(0\leq x\leq5)$。
当$x\gt5$时，设$y_{1}=k_{2}x + b(k_{2}\neq0)$，
把$x = 5$，$y_{1}=75$和$x = 10$，$y_{1}=120$分别代入$y_{1}=k_{2}x + b$，
得$\begin{cases}5k_{2}+b = 75,\\10k_{2}+b = 120.\end{cases}$
两式相减得：$5k_{2}=45$，
解得$k_{2}=9$，
把$k_{2}=9$代入$5k_{2}+b = 75$，
得$45 + b = 75$，
解得$b = 30$，
所以$y_{1}=9x + 30(x\gt5)$。
综上，$y_{1}=\begin{cases}15x(0\leq x\leq5),\\9x + 30(x\gt5).\end{cases}$
(2)选甲店能购买该水果更多一些。
理由如下：
对于乙店，已知$y_{2}=12x(x\geq0)$，
当$y_{2}=150$时，$12x = 150$，
解得$x=\frac{150}{12}=12.5$。
对于甲店，当$0\leq x\leq5$时，令$y_{1}=15x = 150$，
解得$x = 10$，但$10\gt5$，不在此范围内，舍去。
当$x\gt5$时，令$y_{1}=9x + 30 = 150$，
$9x=120$，
解得$x=\frac{120}{9}=\frac{40}{3}\approx13.3$。
因为$13.3\gt12.5$，
所以选甲店能购买该水果更多一些。