《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

22. (本题满分10分)如图,点E在△ABC外部,点D在边BC上,DE交AC于点F,∠1= ∠2= ∠3,AB= AD.
(1)求证：△ABC≌△ADE.
(2)若AF= FC,EF= 3DF,且S△DFC= 1,则△ABC的面积是多少？

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle 1+\angle DAC=\angle BAC$，$\angle 2+\angle DAC = \angle DAE$，且$\angle 1=\angle 2$，所以$\angle BAC=\angle DAE$。
又因为$\angle 2+\angle E+\angle AFE = 180^{\circ}$，$\angle 3+\angle C+\angle DFC=180^{\circ}$，$\angle 2 = \angle 3$，$\angle AFE=\angle DFC$（对顶角相等），所以$\angle E=\angle C$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\begin{cases}\angle BAC=\angle DAE\\\angle C=\angle E\\AB = AD\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
2. （2）
因为$AF = FC$，所以$S_{\triangle ADF}=S_{\triangle DFC}$（等底等高的三角形面积相等），已知$S_{\triangle DFC}=1$，则$S_{\triangle ADF}=1$。
因为$EF = 3DF$，所以$S_{\triangle AEF}=3S_{\triangle ADF}$（高相同，三角形面积比等于底之比），所以$S_{\triangle AEF}=3×1 = 3$。
那么$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle AEF}+S_{\triangle ADF}+S_{\triangle DFC}=3 + 1+1=5$。
由（1）知$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，所以$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADE}=8$。
综上，（1）已证$\triangle ABC\cong\triangle ADE$；（2）$\triangle ABC$的面积是$8$。

23. (本题满分10分)如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 90°,D是直线AB上的一动点(不与点A,B重合),BE⊥CD交CD所在的直线于点E,交直线AC于点F.
(1)点D在边AB上时,求证：AB= AF+BD.
(2)点D在AB的延长线或反向延长线上时,(1)中的结论是否成立？若成立,请给出证明；若不成立,请画出图形,并直接写出AB,AF,BD三者之间的数量关系.

答案： 【解析】：本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质。
(1)证明：
因为$BE \perp CD$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，
所以$\angle F + \angle FBA = 90^{\circ}$，$\angle F + \angle FCD = 90^{\circ}$，
根据同角的余角相等，可得$\angle FBA = \angle FCD$。
在$\triangle ABF$与$\triangle ACD$中，
$\begin{cases}\angle FBA = \angle FCD \\AB = AC \\\angle BAF = \angle CAD = 90^{\circ}\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）全等判定定理，可得$\triangle ABF \cong \triangle ACD$。
所以$AF = AD$。
因为$AB = AD + BD$，将$AF = AD$代入，可得$AB = AF + BD$。
(2)点$D$在$AB$的延长线上时：
此时$AB,AF,BD$三者之间的数量关系为$AB = BD - AF$。
证明：
因为$BE \perp CD$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，
所以$\angle F + \angle FBA = 90^{\circ}$，$\angle F + \angle FCD = 90^{\circ}$，
则$\angle FBA = \angle FCD$。
在$\triangle ABF$与$\triangle ACD$中，
$\begin{cases}\angle FBA = \angle FCD \\AB = AC \\\angle BAF = \angle CAD = 90^{\circ}\end{cases}$
所以$\triangle ABF \cong \triangle ACD(ASA)$，则$AF = AD$。
因为$BD = AB + AD$，将$AF = AD$代入，可得$BD = AB + AF$，即$AB = BD - AF$。
点$D$在$AB$的反向延长线上时：
此时$AB,AF,BD$三者之间的数量关系为$AB = AF - BD$。
证明：
因为$BE \perp CD$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，
所以$\angle F + \angle FBA = 90^{\circ}$，$\angle F + \angle FCD = 90^{\circ}$，
所以$\angle FBA = \angle FCD$。
在$\triangle ABF$与$\triangle ACD$中，
$\begin{cases}\angle FBA = \angle FCD \\AB = AC \\\angle BAF = \angle CAD = 90^{\circ}\end{cases}$
所以$\triangle ABF \cong \triangle ACD(ASA)$，则$AF = AD$。
因为$AF = AB + BD$，所以$AB = AF - BD$。
【答案】：
(1)证明见上述过程；
(2)点$D$在$AB$的延长线上时，结论不成立，$AB = BD - AF$；点$D$在$AB$的反向延长线上时，结论不成立，$AB = AF - BD$。