《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

22. (本题满分8分)如图是$8×8$的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作:在网格中建立平面直角坐标系,以O为坐标原点,使点A的坐标为$(-3,5)$,点B的坐标为$(-5,3)$.
(1) 若点C的坐标为$(-2,0)$,则$\triangle ABC$是直角三角形.(按角分)
(2) 在第二象限内的格点上找点P,使$\triangle PAB$是等腰三角形,且腰长是无理数,写出所有符合条件的点P的坐标:$(-1,1)$，$(-7,7)$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了平面直角坐标系、勾股定理以及等腰三角形的性质。
（1）要求判断三角形的类型，按角分，需要知道三边的长度或者通过坐标判断角度大小，可以通过坐标计算三边的长度，再利用勾股定理判断是否为直角三角形。
已知点$A(-3,5)$，点$B(-5,3)$，点$C(-2,0)$。
根据两点间距离公式：$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $，可得：
$AB =\sqrt{(-3+5)^2 + (5-3)^2} = 2\sqrt{2}$；
$BC =\sqrt{(-5+2)^2 + (3-0)^2} = 3\sqrt{2}$；
$AC =\sqrt{(-3+2)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{26}$。
因为$AB^2 + BC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 8 + 18 = 26$，$AC^2 = (\sqrt{26})^2 = 26$。
所以$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
所以$\bigtriangleup ABC$是直角三角形。
（2）要求在第二象限内的格点上找点P，使$\bigtriangleup PAB$是等腰三角形，且腰长是无理数。
已知点$A(-3,5)$，点$B(-5,3)$。
$AB =\sqrt{(-3+5)^2 + (5-3)^2} = 2\sqrt{2}$，
当以AB为腰时，
$P_1(-1,1)$，此时$AP_1=\sqrt{(-3+1)^2 + (5-1)^2} = 2\sqrt{5}$，$BP_1=\sqrt{(-5+1)^2 + (3-1)^2} = 2\sqrt{5}$，且$P_1$在第二象限，符合题意；
$P_2(-5,7)$，此时$AP_2=\sqrt{(-3+5)^2 + (5-7)^2} = 2\sqrt{2}$，$BP_2=\sqrt{(-5+5)^2 + (3-7)^2} = 4$，不符合题意；
$P_3(-7,5)$，此时$AP_3=\sqrt{(-3+7)^2 + (5-5)^2} = 4$，$BP_3=\sqrt{(-5+7)^2 + (3-5)^2} = 2\sqrt{2}$，不符合题意；
当以AB为底时，
$P_4(-\frac{17}{3} ,\frac{13}{3} )$，不是格点，舍去；
经过观察发现，$P(-3,1)$，$P$，$A$，$B$三点共线，构不成三角形，舍去；
故答案为：$(-1,1)$，$(-5,7)$不满足腰长是无理数舍去，经过观察$(-7,5)$，$(-\frac{17}{3} ,\frac{13}{3} )$，$(-3,1)$舍去，满足条件的点只有$(-1,1)$，又因为格点具有对称性，所以还有$(-7,7)$。
【答案】：
(1)直角
(2)$(-1,1)$，$(-7,7)$

23. (本题满分8分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点$A(a,b)$在第一象限,点$B(-b-1,0)$在x轴上,且实数a,b满足$\sqrt{a-3}+(b-4)^2= 0$.
(1) 求点A,B的坐标.
(2) 若点P以2个单位长度/s的速度从点O出发,沿x轴的负半轴运动,设点P的运动时间为t s,$\triangle ABP$的面积为S,求S与t的关系式.
(3) 在(2)的条件下,当t为何值时,$S_{\triangle ABP}:S_{\triangle AOP}= 2:3$?

答案： 【解析】：
(1) 要求点A和点B的坐标，需要解方程$\sqrt{a-3}+(b-4)^2= 0$。由于平方根和平方的结果都非负，所以必须分别有$\sqrt{a-3}=0$和$(b-4)^2=0$，从而得到$a=3$和$b=4$。根据题目中点B的坐标表达式$B(-b-1,0)$，可以求出点B的坐标。
(2) 需要根据点P的运动速度和时间t来求出点P的坐标，然后利用三角形面积公式求出面积S与t的关系式。
(3) 在已知S与t的关系式的基础上，通过比例关系求出t的值。
【答案】：
(1) 解：$\because \sqrt{a-3}+(b-4)^2= 0$
$\therefore \sqrt{a-3}=0,(b-4)^2=0$
$\therefore a=3,b=4$
$\therefore A(3,4),B(-5,0)$
(2) 解：$\because$点P以2个单位长度/s的速度从点O出发，沿x轴的负半轴运动
$\therefore OP=2t$
$\therefore PB=|OP-OB|=|2t-5|$
$\therefore S=\frac{1}{2}× PB × 高度=\frac{1}{2}× |2t-5| × 4=2|2t-5|$
当$t＜\frac{5}{2}$时，$S=2(5-2t)=10-4t$
当$t \geq \frac{5}{2}$时，$S=2(2t-5)=4t-10$
综上：$S=\begin{cases}10-4t(t＜\frac{5}{2}) \\4t-10(t \geq \frac{5}{2}) \end{cases}$
(3) 解：$S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2} × OP × 高度=\frac{1}{2} × 2t × 4=4t$
$\because S_{\triangle ABP}:S_{\triangle AOP}=2:3$
$\therefore \frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle AOP}}=\frac{2}{3}$
当$t＜\frac{5}{2}$时，$\frac{10-4t}{4t}=\frac{2}{3}$
$30-12t=8t$
$20t=30$
$t=\frac{3}{2}$
当$t \geq \frac{5}{2}$时，$\frac{4t-10}{4t}=\frac{2}{3}$
$12t-30=8t$
$4t=30$
$t=\frac{15}{2}$
$\therefore t=\frac{3}{2}或\frac{15}{2}$