《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

14. 已知$y = ax + b$,下表列出了部分对应值,则$m$的值为$-\dfrac{1}{2}$.
| $x$ | 1 | $n + m$ | 4 |
| $y$ | 3 | $2n$ | 9 |

答案： 解：将$x=1$，$y=3$和$x=4$，$y=9$代入$y=ax+b$，得
$\begin{cases}a + b = 3 \\ 4a + b = 9\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 2 \\ b = 1\end{cases}$，所以$y = 2x + 1$。
将$x = n + m$，$y = 2n$代入，得$2(n + m) + 1 = 2n$，
化简得$2n + 2m + 1 = 2n$，解得$m=-\dfrac{1}{2}$。
$-\dfrac{1}{2}$

15. 直线$y = kx + 2与y$轴,直线$y = -1$围成的三角形的面积为5,则$k$的值为$\pm \frac{9}{10}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算。
首先，找出直线$y = kx + 2$与$y$轴的交点。当$x=0$时，$y=2$，所以交点为$(0,2)$。
接着，找出直线$y = kx + 2$与直线$y = -1$的交点。解方程$kx + 2 = -1$，得到$x = -\frac{3}{k}$。所以交点为$\left(-\frac{3}{k}, -1\right)$。
现在，我们有了三角形的三个顶点：$(0,2)$，$(0,-1)$，和$\left(-\frac{3}{k}, -1\right)$。
三角形的底是$y$轴上的线段，长度为$2 - (-1) = 3$。
三角形的高是$x$轴上的线段，长度为$\left|-\frac{3}{k}\right|$。
根据三角形面积公式，$面积 = \frac{1}{2} × 底 × 高$，
我们有$\frac{1}{2} × 3 × \left|-\frac{3}{k}\right| = 5$，
解这个方程，我们得到$k = \pm \frac{9}{10}$。
【答案】：
$k = \pm \frac{9}{10}$。

16. 如图,等腰直角三角形$ABC的顶点B$,$C分别在x$轴、$y$轴上,$\angle ABC = 90^\circ$,点$B的坐标是(-1,0)$,点$C的坐标是(0,3)$,则直线$AC$的函数表达式为_____$y=\frac{1}{2}x+3$.

答案： 解：过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBO=90°，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠CBO，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
在△ABD和△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠BOC=90°\\ ∠BAD=∠CBO\\ AB=BC\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCO(AAS)，
∵B(-1,0)，C(0,3)，
∴OB=1，OC=3，
∴AD=OB=1，BD=OC=3，
∵点B的坐标是(-1,0)，
∴OD=OB+BD=1+3=4，
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为(-4,1)，
设直线AC的函数表达式为y=kx+b，
把A(-4,1)，C(0,3)代入得：
$\left\{\begin{array}{l} -4k+b=1\\ b=3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l} k=\frac{1}{2}\\ b=3\end{array}\right.$，
∴直线AC的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
答案：$y=\frac{1}{2}x+3$

17. (本题满分6分)已知函数$y = (2m + 1)x + m - 3$,$m$为常数.
(1) 若该函数是正比例函数,求$m$的值.
(2) 若该函数是一次函数,且函数图象经过第一、三、四象限,求$m$的取值范围.

答案： 【解析】：
本题主要考察一次函数和正比例函数的定义及性质。
(1) 对于正比例函数，其形式为$y=kx$，其中$k$为非零常数。
因此，我们需要将给定的函数$y = (2m + 1)x + m - 3$转化为正比例函数的形式。
即，我们需要满足两个条件：
一是$x$的系数$2m+1$不为零；
二是常数项$m-3$为零。
(2) 对于一次函数$y = (2m + 1)x + m - 3$经过第一、三、四象限，
我们需要满足两个条件：
一是$x$的系数$2m+1$大于零，以确保函数在第一和第三象限有图像；
二是常数项$m-3$小于零，以确保函数在第四象限有图像。
我们可以通过解这两个不等式来找到$m$的取值范围。
【答案】：
(1) 解：
由于函数$y = (2m + 1)x + m - 3$是正比例函数，
我们可以得到以下方程组：
$\begin{cases}2m + 1 \neq 0, \\m - 3 = 0.\end{cases}$解这个方程组，我们得到$m = 3$。
(2) 解：
由于函数$y = (2m + 1)x + m - 3$是一次函数，且其图象经过第一、三、四象限，
我们可以得到以下不等式组：
$\begin{cases}2m + 1 ＞ 0, \\m - 3 ＜ 0.\end{cases}$解这个不等式组，我们得到$-\frac{1}{2} ＜ m ＜ 3$。

18. (本题满分6分)已知点$(m,n)在一次函数y = 2x - 3$的图象上.
(1) 求代数式$3n - 6m + 2032$的值.
(2) 点$A(5m - 6,5n)在直线y = 2x - 3$上吗?为什么?

答案： 【解析】：
本题主要考查了一次函数的性质以及代数式的代入计算。
(1) 对于第一问，需要利用给定的点$(m,n)$在一次函数$y = 2x - 3$的图象上的条件，将$n$用$m$表示，然后代入到代数式$3n - 6m + 2032$中进行计算。
(2) 对于第二问，需要判断点$A(5m - 6,5n)$是否满足直线$y = 2x - 3$的方程，即判断$5n$是否等于$2(5m - 6) - 3$。
【答案】：
(1) 解：
由于点$(m,n)$在一次函数$y = 2x - 3$的图象上，根据一次函数的定义，有$n = 2m - 3$。
代入代数式$3n - 6m + 2032$，得：
$3n - 6m + 2032 = 3(2m - 3) - 6m + 2032 = 6m - 9 - 6m + 2032 = 2023$
所以，代数式$3n - 6m + 2032$的值为$2023$。
(2) 解：
点$A(5m - 6,5n)$在直线$y = 2x - 3$上的条件是$5n = 2(5m - 6) - 3$。
将$n = 2m - 3$代入上式，得：
$5(2m - 3) = 2(5m - 6) - 3$
$10m - 15 = 10m - 12 - 3$
$10m - 15 = 10m - 15$
由于等式成立，所以点$A(5m - 6,5n)$在直线$y = 2x - 3$上。