《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

25. (本题满分7分)单项式“$a^2$”可表示边长为$a$的正方形的面积,这就是数学中的数形结合思想的体现.康康由此探究$\sqrt{2}$的近似值,以下是他的探究过程：
面积为2的正方形的边长为$\sqrt{2}$,可知$\sqrt{2}＞1$,因此设$\sqrt{2}= 1+r$,画出如图所示的示意图:图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示,即$S_{正方形}= r^2+2×1\cdot r+1$,另一方面$S_{正方形}= 2$,则$r^2+2×1\cdot r+1= 2$,由于$r^2$较小故略去,得$2r+1\approx2$,则$r\approx0.5$,即$\sqrt{2}\approx1.5$.

(1)仿照康康上述的方法,探究$\sqrt{7}$的近似值.(精确到0.01)(画出示意图,标明数据,并写出求解过程).
(2)继续仿照上述方法,在(1)中得到的$\sqrt{7}$的近似值的基础上,再探究一次,使求得的$\sqrt{7}$的近似值更加准确,精确到0.001(画出示意图,标明数据,并写出求解过程).
(3)综合上述具体探究,已知非负整数$n,m,b$,若$n＜\sqrt{b}＜n+1$,且$b= n^2+m$,试用含$m和n的式子表示\sqrt{b}$的估算值.

答案：
(1) 因为 $2^2 = 4$，$3^2 = 9$，所以 $2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，设 $\sqrt{7} = 2 + r$。
示意图：边长为 $2 + r$ 的大正方形，可分为边长为 2 的正方形、两个长为 2 宽为 $r$ 的长方形和边长为 $r$ 的小正方形。
面积关系：$2^2 + 2×2×r + r^2 = 7$，即 $4 + 4r + r^2 = 7$。略去 $r^2$，得 $4 + 4r ≈ 7$，$4r ≈ 3$，$r ≈ 0.75$，所以 $\sqrt{7} ≈ 2 + 0.75 = 2.75$。
(2) 由
(1)得 $\sqrt{7} ≈ 2.75$，设 $\sqrt{7} = 2.75 + r$。
示意图：边长为 $2.75 + r$ 的大正方形，分为边长为 2.75 的正方形、两个长为 2.75 宽为 $r$ 的长方形和边长为 $r$ 的小正方形。
面积关系：$2.75^2 + 2×2.75×r + r^2 = 7$，$7.5625 + 5.5r + r^2 = 7$。略去 $r^2$，得 $7.5625 + 5.5r ≈ 7$，$5.5r ≈ -0.5625$，$r ≈ -0.1023$，所以 $\sqrt{7} ≈ 2.75 - 0.1023 ≈ 2.6477 ≈ 2.648$。
(3) $\sqrt{b} ≈ n + \frac{m}{2n}$