《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

18. (本题满分6分)如图,AB= DE,AB//DE,F,C是AD上的两点,且AF= CD.求证:

(1)△ABC≌△DEF.
(2)BC//EF.

答案： 【解析】：本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质。
（1）要证明两个三角形全等，我们可以使用全等三角形的判定定理。题目给出了$AB = DE$，$AB// DE$，以及$AF = CD$。
由于$AB// DE$，根据平行线的性质，我们知道交替内角相等，即$\angle A = \angle D$。
又因为$AF = CD$，所以$AF + FC = CD + FC$，即$AC = DF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$AB = DE$，$\angle A = \angle D$，$AC = DF$，所以根据$SAS$（两边加夹角）全等判定定理，我们可以得出$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
（2）要证明$BC// EF$，我们可以利用全等三角形的性质以及平行线的判定定理。
由于$\triangle ABC \cong \triangle DEF$，根据全等三角形的性质，我们知道对应角相等，即$\angle BCA = \angle EFD$。
根据平行线的判定定理，如果两条直线被第三条直线所截，且交替内角相等，则这两条直线平行。所以，$BC// EF$。
【答案】：
(1)证明：
∵$AB// DE$，
∴$\angle A = \angle D$，
∵$AF = CD$，
∴$AF + FC = CD + FC$，即$AC = DF$，
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\left\{ \begin{matrix} AB = DE, \\ \angle A = \angle D, \\ AC = DF. \end{matrix} \right.$
∴$\triangle ABC \cong \triangle DEF(SAS)$。
(2)证明：
∵$\triangle ABC \cong \triangle DEF$，
∴$\angle BCA = \angle EFD$，
∴$BC// EF$。

19. (本题满分6分)如图,△ABC是等腰三角形,AB= AC,D是边AB上一点,过点D作DE⊥BC,垂足为E,直线DE与CA的延长线相交于点F.

(1)求证:△ADF是等腰三角形.
(2)若∠B= 60°,BD= 4,AD= 3,求EC的长.

答案： 【解析】：
(1) 本题考查的是等腰三角形的性质以及直角三角形的性质。我们需要通过△ABC是等腰三角形这一条件，结合DE⊥BC，来推导出△ADF是等腰三角形。
(2) 本题主要考查了含30度角的直角三角形性质以及等腰三角形的性质和判定。我们需要利用已知的角度和边长，结合等腰三角形和直角三角形的性质，来求解EC的长度。
【答案】：
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠FEC=∠FDB=90°，
∴∠B+∠BDE=∠C+∠F=90°，
∴∠F=∠BDE，
∵∠ADF=∠BDE，
∴∠F=∠ADF，
∴△ADF是等腰三角形。
(2)解：
∵∠B=60°，BD=4，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=2，
∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AD+BD=7，
∴EC=BC-BE=7-2=5。

20. (本题满分8分)如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线DF交BC于点D,连接AD,∠ADC= 2∠DAC,CD= 4,BD= 5,AC= 6.

(1)求△ACD的周长.
(2)求证:AD平分∠BAC.

答案： 【解析】：
本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及角平分线的判定等知识点。
（1）对于第一问，求$\bigtriangleup ACD$的周长，需要先根据已知条件求出$AD$的长度。由于$DF$是$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可以得到$DA = DB$，进而求出$AD$的长度，最后计算出$\bigtriangleup ACD$的周长。
（2）对于第二问，要证明$AD$平分$\angle BAC$，即证明$\angle BAD = \angle CAD$。由于$DA = DB$，根据等腰三角形的性质，可以得到$\angle B = \angle BAD$。又因为$\angle ADC = 2\angle DAC$，且$\angle ADC = \angle B + \angle BAD$，通过等量代换和角度的计算，可以证明$AD$平分$\angle BAC$。
【答案】：
（1）解：
$\because DF$垂直平分$AB$，
$\therefore DA = DB = 5$（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），
$\therefore \bigtriangleup ACD$的周长为$AC + CD + AD = 6 + 4 + 5 = 15$。
（2）证明：
$\because DA = DB$，
$\therefore \angle B = \angle BAD$（等边对等角），
在$\bigtriangleup ACD$中，$\angle ADC = \angle B + \angle BAD = 2\angle BAD$，
$\because \angle ADC = 2\angle DAC$，
$\therefore \angle BAD = \angle DAC$（等量代换），
$\therefore AD$平分$\angle BAC$。