《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

21. (本题满分8分)如图,在四边形ABCD中,∠BAD= ∠BCD= 90°,M,N分别是对角线BD,AC的中点,连接MN.
(1)求证:MN⊥AC.
(2)若AC= 6,MN= $\sqrt{7}$,BC= 5,求CD的长.

答案：
(1)证明：连接AM，CM。
∵∠BAD=90°，M是BD中点，
∴AM=1/2BD。
∵∠BCD=90°，M是BD中点，
∴CM=1/2BD。
∴AM=CM。
∵N是AC中点，
∴MN⊥AC。
(2)解：
∵AC=6，N是AC中点，
∴AN=NC=3。
∵MN⊥AC，MN=√7，
在Rt△ANM中，AM²=AN²+MN²=3²+(√7)²=16，
∴AM=4。
由
(1)知CM=AM=4，BD=2AM=8。
在Rt△CNM中，CM²=NC²+MN²=3²+(√7)²=16（验证CM=4）。
在Rt△BCD中，BC=5，BD=8，
CD²=BD²-BC²=8²-5²=39，
∴CD=√39。
答：CD的长为√39。

22. (本题满分8分)如图,某社区有一块四边形空地ABCD,AB= 15 m,CD= 8 m,AD= 17 m.从点A处修了一条垂直于BC的小路AE(垂足为E),E恰好是BC的中点,且AE= 12 m.
(1)求边BC的长.
(2)连接AC,判断△ADC的形状.
(3)求这块空地的面积.

答案： 【解析】：本题主要考查了勾股定理的运用以及勾股定理的逆定理。
（1）在$Rt \bigtriangleup ABE$中，利用勾股定理可求出$BE$的长度，再根据$E$是$BC$的中点，即可求出$BC$的长度。
（2）在$\bigtriangleup ACD$中，已知三边的长度，可根据勾股定理的逆定理判断其形状。
（3）四边形$ABCD$的面积等于$\bigtriangleup ABC$的面积与$\bigtriangleup ACD$的面积之和，分别求出两个三角形的面积，即可得出答案。
【答案】：
解：（1）$\because AE\perp BC$，
$\therefore \bigtriangleup ABE$是直角三角形。
在$Rt \bigtriangleup ABE$中，
$\because AB = 15m$，$AE = 12m$，
$\therefore BE = \sqrt{AB^{2} - AE^{2}} = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = 9(m)$。
$\because E$是$BC$的中点，
$\therefore BC = 2BE = 2× 9 = 18(m)$。
（2）在$\bigtriangleup ACD$中，
$\because AD = 17m$，$CD = 8m$，$AC$可根据勾股定理在$\bigtriangleup AEC$中求出，
在$Rt \bigtriangleup AEC$中，
$\because AE = 12m$，$EC = BE = 9m$，
$\therefore AC = \sqrt{AE^{2} + EC^{2}} = \sqrt{12^{2} + 9^{2}} = 15(m)$。
$\because AC^{2} + CD^{2} = 15^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289$，$AD^{2} = 17^{2} = 289$，
$\therefore AC^{2} + CD^{2} = AD^{2}$，
$\therefore \bigtriangleup ACD$是直角三角形，且$\angle ACD = 90{^\circ}$。
（3）四边形$ABCD$的面积$S = S_{\bigtriangleup ABC} + S_{\bigtriangleup ACD}$
$S_{\bigtriangleup ABC} = \frac{1}{2} × BC × AE = \frac{1}{2} × 18 × 12 = 108(m^{2})$
$S_{\bigtriangleup ACD} = \frac{1}{2} × AC × CD = \frac{1}{2} × 15 × 8 = 60(m^{2})$
$\therefore S = 108 + 60 = 168(m^{2})$
故这块空地的面积为$168m^{2}$。