《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

22. (本题满分7分)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 45^\circ$.
(1)如图,点D在边AB上,点E在边AC上,$BD= CE$,BE与CD交于点F.求证：$BF= CF$.
(2)若D是边AB上的一个动点,E是边AC上的一个动点,且$BD= CE$,BE与CD交于点F,当$\triangle BFD$是等腰三角形时,求$\angle FBD$的度数.

答案： 【解析】：
（1）本题可通过证明$\triangle BDC$和$\triangle CEB$全等，得出$\angle FBC=\angle FCB$，再根据等角对等边证明$BF = CF$。
步骤一：分析已知条件
已知$AB = AC$，根据等腰三角形的性质可知$\angle ABC=\angle ACB$；又已知$BD = CE$，且$BC$为$\triangle BDC$和$\triangle CEB$的公共边。
步骤二：证明$\triangle BDC\cong\triangle CEB$
在$\triangle BDC$和$\triangle CEB$中，$\begin{cases}BD = CE\\\angle DBC=\angle ECB\\BC = CB\end{cases}$，根据全等三角形判定定理中的边角边（SAS），可以得出$\triangle BDC\cong\triangle CEB$。
步骤三：得出$\angle FBC=\angle FCB$并证明$BF = CF$
因为$\triangle BDC\cong\triangle CEB$，所以$\angle FBC=\angle FCB$，根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，可得$BF = CF$。
（2）本题需要分三种情况讨论$\triangle BFD$是等腰三角形时$\angle FBD$的度数。
情况一：当$BF = DF$时
因为$BF = DF$，所以$\angle FBD=\angle FDB$。
由（1）知$\triangle BDC\cong\triangle CEB$，所以$\angle ABC=\angle ACB$，$\angle BCD=\angle EBC$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 45^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}×(180^{\circ}-45^{\circ}) = 67.5^{\circ}$。
因为$\angle FDB$是$\triangle BDC$的一个外角，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得$\angle FDB=\angle BCD+\angle DBC$，又因为$\angle BCD=\angle EBC$，所以$\angle FDB=\angle EBC+\angle DBC=\angle ABC = 67.5^{\circ}$，则$\angle FBD=\angle FDB = 67.5^{\circ}$，此时$\angle BFD = 180^{\circ}-67.5^{\circ}-67.5^{\circ}=45^{\circ}$，满足三角形内角和定理。
情况二：当$BD = DF$时
因为$BD = DF$，所以$\angle FBD=\angle BFD$。
设$\angle FBD=\angle BFD = x$，则$\angle FDB = 180^{\circ}-2x$。
又因为$\angle FDB$是$\triangle BDC$的一个外角，所以$\angle FDB=\angle BCD+\angle DBC$，且$\angle BCD=\angle EBC$，$\angle ABC=\angle ACB = 67.5^{\circ}$，则$\angle FDB=\angle EBC+\angle DBC=\angle ABC = 67.5^{\circ}$，即$180^{\circ}-2x = 67.5^{\circ}$，
解方程$180 - 2x = 67.5$，移项可得$2x = 180 - 67.5 = 112.5$，解得$x = 33.75^{\circ}$，所以$\angle FBD = 33.75^{\circ}$。
情况三：当$BF = BD$时
因为$BF = BD$，所以$\angle FDB=\angle BFD$。
设$\angle FBD = y$，则$\angle BFD=\angle FDB = \frac{180^{\circ}-y}{2}=90^{\circ}-\frac{y}{2}$。
因为$\angle FDB$是$\triangle BDC$的一个外角，所以$\angle FDB=\angle BCD+\angle DBC$，且$\angle BCD=\angle EBC$，$\angle ABC=\angle ACB = 67.5^{\circ}$，则$\angle FDB=\angle EBC+\angle DBC=\angle ABC = 67.5^{\circ}$，即$90^{\circ}-\frac{y}{2}=67.5^{\circ}$，
解方程$90 - \frac{y}{2} = 67.5$，移项可得$\frac{y}{2}=90 - 67.5 = 22.5$，解得$y = 22.5^{\circ}$，所以$\angle FBD = 22.5^{\circ}$。
【答案】：
(1)证明：
$\because AB = AC$，
$\therefore\angle ABC=\angle ACB$。
在$\triangle BDC$和$\triangle CEB$中，
$\begin{cases}BD = CE\\\angle DBC=\angle ECB\\BC = CB\end{cases}$
$\therefore\triangle BDC\cong\triangle CEB(SAS)$。
$\therefore\angle FBC=\angle FCB$。
$\therefore BF = CF$。
(2)解：
①当$BF = DF$时，$\angle FBD=\angle FDB$。
$\because\angle ABC=\angle ACB = 67.5^{\circ}$，$\angle FDB$是$\triangle BDC$的一个外角，
$\therefore\angle FDB=\angle ABC = 67.5^{\circ}$，
$\therefore\angle FBD = 67.5^{\circ}$。
②当$BD = DF$时，$\angle FBD=\angle BFD$。
设$\angle FBD=\angle BFD = x$，则$\angle FDB = 180^{\circ}-2x$。
$\because\angle FDB=\angle ABC = 67.5^{\circ}$，
$\therefore180 - 2x = 67.5$，
解得$x = 33.75^{\circ}$，
$\therefore\angle FBD = 33.75^{\circ}$。
③当$BF = BD$时，$\angle FDB=\angle BFD$。
设$\angle FBD = y$，则$\angle BFD=\angle FDB = 90^{\circ}-\frac{y}{2}$。
$\because\angle FDB=\angle ABC = 67.5^{\circ}$，
$\therefore90 - \frac{y}{2} = 67.5$，
解得$y = 22.5^{\circ}$，
$\therefore\angle FBD = 22.5^{\circ}$。
综上，$\angle FBD$的度数为$22.5^{\circ}$或$33.75^{\circ}$或$67.5^{\circ}$。

23. (本题满分7分)如图1,$\triangle ABC$是等腰三角形,$AB= AC$,D,E分别是AB,AC上的点,且$BD= CE$,CD与BE交于点F,连接AF并延长,交BC于点M.
(1)求证：$\triangle DBC\cong\triangle ECB$.
(2)求证：AM垂直平分BC.
(3)如图2,若$BE\perp CD$,且$BC= AF$,求证：$AE= CE$.(提示：在BE上取点N,使得$BN= EF$,连接CN)

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。在△DBC和△ECB中，BD=CE，∠DBC=∠ECB，BC=CB，
∴△DBC≌△ECB(SAS)。
(2)证明：由
(1)得△DBC≌△ECB，
∴∠DCB=∠EBC，
∴FB=FC。
∵AB=AC，
∴点A、F均在BC的垂直平分线上，
∴AM垂直平分BC。
(3)证明：在BE上取点N，使BN=EF，连接CN。
∵BE⊥CD，
∴∠CFE=∠CFB=90°。由
(1)得∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC。在△BNC和△EFC中，BN=EF，∠FBC=∠FCB，FB=FC，
∴△BNC≌△EFC(SAS)，
∴CN=CE，∠BNC=∠EFC=90°，
∴∠CNF=90°。由
(2)得AM垂直平分BC，设AM交BC于M，则BM=CM。设FM=a，BM=CM=b，由∠FBC=∠FCB=45°，得FB=FC=√2b，FM=BM=a=b，
∴FC=√2a，BC=2a。
∵BC=AF，
∴AF=2a，
∴AM=AF+FM=3a。设EM=x，由△AME∽△CFE，得EM/EF=AM/CF，即x/EF=3a/(√2a)=3/√2，EF=√2x/3。
∵CN=CE，∠CNE=90°，EN=EF+FN=EF+FB-BN=EF+FB-EF=FB=√2a，
∴CE=√(CN²+EN²)=√(CE²+(√2a)²)，CE=√(CE²+2a²)，解得CE=√2a。
∵AE=√(AM²+EM²)=√((3a)²+x²)，CE=√2a，AE=CE，
∴√(9a²+x²)=√2a，解得x=a√7/7，EF=√2*(a√7/7)/3=√14a/21。
∵AE=AC-CE=AB-BD=AD，AD=AB-BD=AC-CE=AE，
∴AE=CE。