《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

21. (本题满分8分)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.
(1)若∠ABC= 40°,∠ACB= 70°,求∠BDC的度数.
(2)若DE= 2,BC= 9,求△BCD的面积.

答案：
(1)解：
∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠DBC=∠ABC/2=20°.
∵CD平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴∠DCB=∠ACB/2=35°.
在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-20°-35°=125°.
(2)解：过点D作DG⊥AC于点G.
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF=2.
∴S△BCD=BC·DF/2=9×2/2=9.

22. (本题满分8分)如图,在△ABC中,AC= BC,∠ACB= 120°,CD是边AB上的中线,线段BD的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,∠CDG= 15°.
(1)求证:AD= AG.
(2)试判断△CDE的形状,并说明理由.

答案： （1）证明：
∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=(180°-120°)/2=30°．
∵CD是AB边上的中线，AC=BC，
∴CD⊥AB，AD=BD，∠ACD=∠BCD=60°．
∵∠CDG=15°，
∴∠ADG=∠ADC-∠CDG=90°-15°=75°．
∠AGD=180°-∠A-∠ADG=180°-30°-75°=75°．
∴∠ADG=∠AGD，
∴AD=AG．
（2）解：△CDE是等边三角形．理由如下：
设BD=2x，
∵EF垂直平分BD，
∴BF=FD=x，∠EFB=90°．
在Rt△EFB中，∠B=30°，
∴BE=2EF，EF=BF·tan30°=x·(√3/3)=√3x/3，
∴BE=2√3x/3，BC=√3BD=2√3x（
∵CD=BD·tan60°=√3x，BC=2CD=2√3x），
∴CE=BC-BE=2√3x - 2√3x/3=4√3x/3．
在Rt△CDB中，CD=BD·tan30°=2x·(√3/3)=2√3x/3？（此处修正：CD=BD·tan60°=2x·√3=2√3x，
∵∠B=30°，CD=BC·sin30°=2√3x·1/2=√3x）
∴CD=√3x，CE=BC-BE=2√3x - 2√3x/3=4√3x/3？（修正后重新计算：BC=2CD=2√3x，BE=EF/sin30°= (√3x/3)/(1/2)=2√3x/3，CE=BC-BE=2√3x - 2√3x/3=4√3x/3错误，应为CE=BC-BE=2√3x - 2√3x/3=4√3x/3？不，正确应为：
在Rt△CDB中，∠B=30°，BD=2x，
∴CD=BD·tan30°=2x·(√3/3)=2√3x/3？（混乱，改为用角度计算）
∵∠BCD=60°，∠CDE=∠CDG+∠GDE=15°+∠GDE？（换思路）
∵EF垂直平分BD，
∴ED=EB，∠EDB=∠B=30°，
∴∠CDE=180°-∠CDB-∠EDB=180°-90°-30°=60°？（∠CDB=90°，∠EDB=30°，
∴∠CDE=∠CDB-∠EDB=90°-30°=60°）
∵∠BCD=60°，
∴△CDE中，∠CDE=∠ECD=60°，
∴∠CED=60°，
∴△CDE是等边三角形．
（注：第二问通过角度关系∠CDE=60°，∠ECD=60°，直接得出△CDE为等边三角形，修正计算错误，简化过程）
最终答案：（1）AD=AG得证；（2）△CDE是等边三角形．
（规范修正后第二问理由）
（2）解：△CDE是等边三角形．理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴ED=EB，∠EDB=∠B=30°．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠CDE=∠CDB-∠EDB=90°-30°=60°．
又
∵∠ECD=60°，
∴△CDE中，∠CDE=∠ECD=60°，
∴∠CED=60°，
∴△CDE是等边三角形．