《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

18. (本题满分6分)如图,在△ABC中,AB= AC,AD⊥BC,点E在CA的延长线上,EF//AD.求证:AE= AF.

答案： 【解析】：本题可根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及等角对等边的性质来证明$AE = AF$。
首先，由$AB = AC$，$AD\perp BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得出$\angle BAD=\angle CAD$。
然后，因为$EF// AD$，根据两直线平行，内错角相等，可得到$\angle EFA=\angle BAD$，$\angle E=\angle CAD$。
最后，通过等量代换得到$\angle EFA=\angle E$，再根据等角对等边，即可证明$AE = AF$。
【答案】：证明：
∵$AB = AC$，$AD\perp BC$，
∴$\angle BAD=\angle CAD$（等腰三角形三线合一）。
∵$EF// AD$，
∴$\angle EFA=\angle BAD$（两直线平行，内错角相等），$\angle E=\angle CAD$（两直线平行，内错角相等）。
∴$\angle EFA=\angle E$（等量代换）。
∴$AE = AF$（等角对等边）。

19. (本题满分6分)如图,在△ABC中,∠B= ∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:DE= DF.
(2)若∠A= 60°,BE= 3,求△ABC的周长.

答案： 【解析】：
(1)证明：
首先，由于$D$是$BC$的中点，所以$BD = CD$，
又因为$DE \perp AB$且$DF \perp AC$，所以$\angle DEB = \angle DFC = 90^\circ$，
在$\triangle BDE$与$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}\angle DEB = \angle DFC, \\ \angle B = \angle C, \\ BD = CD.\end{cases}$
所以$\triangle BDE \cong \triangle CDF$（AAS），
由于两三角形全等，所以对应边相等，即$DE = DF$。
(2)由
(1)的证明过程，知道$\triangle BDE \cong \triangle CDF$，所以$BE = CF$，
因为$\angle A= 60^\circ$，且$\angle B= \angle C$，由三角形内角和为$180^\circ$，可得$\angle B= \angle C=(180^\circ-60^\circ) ÷ 2=60^\circ$，
又因为$DE \perp AB$，所以在$Rt \triangle BDE$中，$\angle BDE=30^\circ$，
根据$30^\circ-60^\circ-90^\circ$的直角三角形的性质，较短的直角边是斜边的一半，
所以$BD=2BE$，
因为$BE=3$，所以$BD=2 × 3=6$，
因为$D$是$BC$的中点，所以$BC=2BD=2 × 6=12$，
因为$\angle A= \angle B= \angle C=60^\circ$，所以$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$AB=AC=BC=12$，
因此，$\triangle ABC$的周长为$AB+AC+BC=12+12+12=36$。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)36。

20. (本题满分8分)如图,在△ABC中,∠ABC= 20°,∠ACB= 65°,点D,F在边BC上,DE,FG分别为边AB,AC的垂直平分线,垂足为E,G.
(1)求∠BAC的度数.
(2)求∠DAF的度数.
(3)若BC的长为50,求△DAF的周长.

答案： 【解析】：本题主要考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质。
（1）根据三角形内角和定理求$\angle BAC$的度数。
（2）根据线段垂直平分线的性质得到$DA = DB$，$FA = FC$，再根据等腰三角形的性质得到$\angle B = \angle BAD$，$\angle C = \angle FAC$，然后利用$\angle DAF=\angle BAC - \angle BAD - \angle FAC$进行计算。
（3）由（2）的结论得到$\triangle DAF$的周长$=AD + DF + AF = BD + DF + FC = BC$。
【答案】：解：（1）
∵$\angle ABC = 20^{\circ}$，$\angle ACB = 65^{\circ}$，
∴$\angle BAC = 180^{\circ} - 20^{\circ} - 65^{\circ} = 95^{\circ}$。
（2）
∵$DE$，$FG$分别为边$AB$，$AC$的垂直平分线，
∴$DA = DB$，$FA = FC$，
∴$\angle B = \angle BAD$，$\angle C = \angle FAC$，
∵$\angle B = 20^{\circ}$，$\angle C = 65^{\circ}$，
∴$\angle BAD = 20^{\circ}$，$\angle FAC = 65^{\circ}$，
∴$\angle DAF=\angle BAC - \angle BAD - \angle FAC = 95^{\circ} - 20^{\circ} - 65^{\circ} = 10^{\circ}$。
（3）
∵$DA = DB$，$FA = FC$，
∴$\triangle DAF$的周长$=AD + DF + AF = BD + DF + FC = BC = 50$。