《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

12. 一个水库的水位在最近5 h内持续上涨,下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度,其中$ t(h) $表示时间,$ y(m) $表示水位高度.
| $ t/h $ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| $ y/m $ | 3 | 3.3 | 3.6 | 3.9 | 4.2 | 4.5 |

据估计,这种上涨规律还会持续2 h,预测再过2 h水位高度将为______m.
5.1

答案： 【解析】：
由表格可知，每隔1小时水位上涨0.3m，因此可以推断出水位$y$与时间$t$之间存在一次函数关系，设$y=kt+b$，可以选择两组数据代入来求解$k$和$b$。
选择$t=0,y=3$和$t=1,y=3.3$代入$y=kt+b$，得到方程组：
$\begin{cases}b=3,\\k+b=3.3.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k=0.3,\\b=3.\end{cases}$
因此，水位$y$与时间$t$的关系式为$y=0.3t+3$，
根据题目，这种上涨规律还将持续2小时，所以将$t=5+2=7$代入$y=0.3t+3$，得到：
$y=0.3×7+3=2.1+3=5.1$，
所以，再过2小时后水位高度将为5.1m。
【答案】：
5.1。

13. 已知华氏温度$(^{\circ}F)和摄氏温度(^{\circ}C)$的换算关系：摄氏温度$ =\frac{5}{9}× $(华氏温度$-32$).在1个标准大气压下冰的熔点为$ 0^{\circ}C $,则在1个标准大气压下冰的熔点为32 $^{\circ}F $.

答案： 【解析】：
本题主要考查摄氏温度与华氏温度之间的换算关系。题目给出了摄氏温度与华氏温度之间的换算公式，即摄氏温度$=\frac{5}{9}×$(华氏温度$-32)$。同时，题目也给出了在1个标准大气压下冰的熔点为$0^{\circ}C$，要求我们找出对应的华氏温度。
为了求解这个问题，我们可以将摄氏温度设为0，然后代入换算公式，解出对应的华氏温度。
【解答】：
解：
1. 根据题目给出的换算公式，我们有：
$摄氏温度 = \frac{5}{9} × (华氏温度 - 32)$
2. 将摄氏温度设为0，代入上式，得到：
$0 = \frac{5}{9} × (华氏温度 - 32)$
3. 解这个方程，我们得到：
$华氏温度 - 32 = 0 × \frac{9}{5}$
$华氏温度 - 32 = 0$
$华氏温度 = 32$
故答案为：$32^{\circ}F$。

14. 在平面直角坐标系$ xOy $中,若函数$ y= ax+b 和 y= kx 的图象交于点 P $,并且点$ P 关于原点的对称点 P' 的坐标是(-4,2)$,则关于$ x,y 的方程组 \begin{cases} y= ax+b \\ y= kx \end{cases} $的解是$\begin{cases} x = 4 \\ y = -2 \end{cases}$.

答案： 【解析】：
首先，我们知道点$P$关于原点的对称点$P'$的坐标是$(-4,2)$。
根据关于原点对称的性质，如果点$P'(x', y')$是点$P(x, y)$关于原点的对称点，那么有$x = -x'$，$y = -y'$。
因此，点$P$的坐标是$(4, -2)$。
接下来，我们考虑函数$y = ax + b$和$y = kx$。
由于这两个函数的图象在点$P$相交，所以当$x = 4$时，$y = -2$满足这两个函数。
换句话说，$x = 4$，$y = -2$是方程组$\begin{cases} y = ax + b \\ y = kx \end{cases}$的解。
【答案】：
$\begin{cases} x = 4 \\ y = -2 \end{cases}$

15. 等腰三角形的周长为16 cm,底边长为$ y $ cm,腰长为$ x $ cm,则$ y 与 x $之间的表达式为$y = 16 - 2x$,自变量$ x $的取值范围为$4 ＜ x ＜ 8$.

答案： 【解析】：
本题主要考查等腰三角形的性质以及一次函数的定义。
首先，等腰三角形的两腰相等，均为$x$ cm，底边为$y$ cm。
根据三角形的周长公式，有：
$2x + y = 16$。
从上式中解出$y$，得到：
$y = 16 - 2x$。
接下来，我们需要确定$x$的取值范围。
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，所以有：
$2x ＞ y$。
将$y = 16 - 2x$代入上式，得到：
$2x ＞ 16 - 2x$，
$4x ＞ 16$，
$x ＞ 4$。
同时，腰长$x$显然要小于周长的一半，即：
$x ＜ \frac{16}{2} = 8$。
综合以上两个不等式，得到$x$的取值范围为：
$4 ＜ x ＜ 8$。
【答案】：
$y = 16 - 2x$；$4 ＜ x ＜ 8$。

16. 如图,在平面直角坐标系中,点$ A 的坐标是(0,2)$,点$ B 的坐标是(2,0)$,连接$ AB $,$ P 是线段 AB $上的一个动点(包括两端点),$ Q 是直线 y= -x $在第二象限内的一动点,连接$ OP $,$ PQ $.已知$\triangle OPQ的面积为\sqrt{2}$,则点$ Q $的坐标为______.

$(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$

答案： 解：设点$P$的坐标为$(t, 2 - t)$（$0 \leq t \leq 2$），点$Q$的坐标为$(m, -m)$（$m ＜ 0$）。
直线$OP$的解析式为$y = \frac{2 - t}{t}x$（$t \neq 0$），当$t = 0$时，$OP$为$y$轴，方程为$x = 0$。
点$Q$到直线$OP$的距离$d = \frac{|(2 - t)m + tm|}{\sqrt{t^2 + (2 - t)^2}} = \frac{|2m|}{\sqrt{2t^2 - 4t + 4}}$。
$OP = \sqrt{t^2 + (2 - t)^2} = \sqrt{2t^2 - 4t + 4}$。
$S_{\triangle OPQ} = \frac{1}{2} × OP × d = \frac{1}{2} × \sqrt{2t^2 - 4t + 4} × \frac{|2m|}{\sqrt{2t^2 - 4t + 4}} = |m| = \sqrt{2}$。
因为$m ＜ 0$，所以$m = -\sqrt{2}$，点$Q$的坐标为$(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
答案：$(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$

17. (本题满分8分)如图,两直线$ l_1,l_2 的交点坐标(2,2)可以作为某个关于 x,y $的方程组的解,求这个方程组.

答案： 解：设直线$l_1$的解析式为$y = k_1x + b_1$，直线$l_2$的解析式为$y = k_2x + b_2$。
由图可知，直线$l_1$过点$(0,6)$和$(2,2)$，代入$y = k_1x + b_1$得：
$\begin{cases}b_1 = 6 \\2k_1 + b_1 = 2\end{cases}$
解得$k_1 = -2$，$b_1 = 6$，故$l_1$：$y = -2x + 6$。
直线$l_2$过点$(0,3)$和$(2,2)$，代入$y = k_2x + b_2$得：
$\begin{cases}b_2 = 3 \\2k_2 + b_2 = 2\end{cases}$
解得$k_2 = -\frac{1}{2}$，$b_2 = 3$，故$l_2$：$y = -\frac{1}{2}x + 3$。
所以所求方程组为：
$\begin{cases}y = -2x + 6 \\y = -\frac{1}{2}x + 3\end{cases}$