《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

14. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△ADE的顶点都在格点上,则∠ABC+∠ADE= ______90°.

答案： 解：连接CD。
在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=90°，由勾股定理得BC=√(AB²+AC²)=√(2²+1²)=√5。
在△ADE中，AE=1，DE=1，∠AED=90°，由勾股定理得AD=√(AE²+DE²)=√(1²+1²)=√2。
在△ACD中，AC=1，AD=√2，CD=√[(1-0)²+(2-1)²]=√2（根据网格坐标计算），则AC=1，AD=√2，CD=√2，可得AC²+AD²=1+2=3，CD²=2，AC²+AD²≠CD²，AD=CD，故△ACD为等腰三角形。
在△BCD中，BC=√5，CD=√2，BD=3，由勾股定理逆定理，BC²+CD²=5+2=7，BD²=9，7≠9，不是直角三角形。
在△ABC和△CDE中，AB=2，DE=1，AC=1，CE=1，BC=√5，CD=√2，AB/DE=2/1=2，AC/CE=1/1=1，不相似。
另证：在网格中，tan∠ABC=AC/AB=1/2，tan∠ADE=AE/DE=1/1=1，∠ADE=45°。
作CF⊥AB于F，CF=1，BF=AB - AF=2 - 1=1，tan∠FBC=CF/BF=1/1=1，∠FBC=45°，而∠ABC=∠FBC，故∠ABC=45°，则∠ABC+∠ADE=45°+45°=90°。
答案：90°

15. 如图,在锐角三角形ABC中,AB= 10,∠BAC= 45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,连接BM,MN,则BM+MN的最小值是______.

5√2

答案： 【解析】：本题可利用角平分线的性质和垂线段最短的性质，通过作辅助线来求解$BM + MN$的最小值。
步骤一：作辅助线
过点$B$作$BE\perp AC$于点$E$，交$AD$于点$M$，过点$M$作$MN\perp AB$于点$N$，此时$BM + MN$的值最小。
步骤二：利用角平分线的性质
因为$AD$平分$\angle BAC$，$ME\perp AC$，$MN\perp AB$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$ME = MN$，所以$BM + MN = BM + ME$。
步骤三：根据垂线段最短求最小值
当$B$，$M$，$E$三点共线时，$BM + ME$的值最小，即$BM + MN$的最小值为$BE$的长。
步骤四：计算$BE$的长
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle BAC = 45^{\circ}$，$AB = 10$，因为$\sin\angle BAC=\frac{BE}{AB}$，且$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$BE = AB\sin\angle BAC = 10×\sin45^{\circ}=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$。
【答案】：$5\sqrt{2}$

16. 在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB= 3,BD= 2,DC= 1,则AC= ______$\sqrt{6}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察勾股定理的应用。在直角三角形中，可以利用勾股定理求出未知的边长。
首先，在直角三角形$\bigtriangleup ABD$中，已知$AB = 3$，$BD = 2$，可以利用勾股定理求出$AD$的长度。
勾股定理公式为：$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，其中$c$是斜边，$a$和$b$是直角边。
将已知数值代入公式，得到：
$AD^{2} = AB^{2} - BD^{2}$
$AD^{2} = 3^{2} - 2^{2} = 5$
$AD = \sqrt{5}$
然后，在直角三角形$\bigtriangleup ACD$中，已知$AD = \sqrt{5}$，$DC = 1$，再次利用勾股定理求出$AC$的长度。
$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2}$
$AC^{2} = (\sqrt{5})^{2} + 1^{2} = 6$
$AC = \sqrt{6}$
【答案】：
$\sqrt{6}$

17.(本题满分6分)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫作格点.
(1)图1中,以格点为顶点画一个面积为5的正方形.
(2)图2中,以格点为顶点画一个三角形,使三角形的三边长分别为2,$\sqrt{5}$,$\sqrt{13}$.
(3)图3中,A,B,C是小正方形的顶点,求∠ABC的度数.

答案： 【解析】：
(1)此题旨在考查学生对勾股定理的理解以及如何应用它来构造特定面积的正方形。首先，我们知道正方形的面积等于边长的平方。题目要求画一个面积为5的正方形，那么边长应该是$\sqrt{5}$。利用勾股定理，我们可以找到两个直角边，它们的平方和等于5。例如，1和2的平方和就是5，所以我们可以利用这两个数作为直角边的长度，构造一个直角三角形，其斜边就是正方形的边长。
(2)本题的目的在于检验学生是否能够根据给定的边长，利用勾股定理，在网格上准确地画出三角形。题目给出了三边长度，我们可以尝试找到满足这些长度的直角三角形的两个直角边。例如，对于长度为$\sqrt{5}$的边，我们可以找到两个平方和为5的整数（如1和2）作为直角边。类似地，对于长度为$\sqrt{13}$的边，我们可以找到平方和为13的两个整数（如2和3）作为直角边。然后，我们可以在网格上标出这些点，并连接它们形成三角形。
(3)本题要求学生利用勾股定理的逆定理来判断三角形的角度。首先，我们需要计算出三角形各边的长度。然后，我们可以利用这些长度和勾股定理的逆定理来判断三角形的角度。如果三边满足勾股定理，即两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是一个直角三角形，且直角位于满足勾股定理的那两边所夹的角。
【答案】：
(1)图略（利用勾股定理，画一个边长为$\sqrt{5}$的正方形，即边长为直角边1和2的直角三角形的斜边）。
(2)图略（利用勾股定理，画一个三角形，三边分别为2，$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$。例如，可以利用边长为1和2、2和3的直角三角形的斜边来构造）。
(3)解：连接$AC$。
由勾股定理，我们可以得到：
$AC=BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∵$AC^2+BC^2=AB^2$，
∴$\angle ACB=90^\circ$，
∴$\bigtriangleup ACB$是等腰直角三角形，
∴$\angle ABC=\angle CAB=45^\circ$。
所以$\angle ABC=45^\circ$。