《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

23. (本题满分8分)
(1)如图1,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 45°,△ABC的高AD,BE相交于点M.求证:AM= 2CD.
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= BC,AD是∠CAB的平分线,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E.若AD= 3,则BE= ______$\frac{3}{2}$.

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，AD是△ABC的高，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD=22.5°，
∵BE是△ABC的高，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABE=45°，
∴AE=BE，
∵∠AME+∠MAE=90°，∠C+∠MAE=90°，
∴∠AME=∠C，
在△AME和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AME=∠C\\ ∠AEM=∠BEC=90°\\ AE=BE\end{array}\right. $，
∴△AME≌△BCE(AAS)，
∴AM=BC，
∵BC=2CD，
∴AM=2CD；
(2)$\frac {3}{2}$

24. (本题满分10分)在等腰三角形ABC中,AB= AC,D是直线BC上一点,E是直线AC上一点,AD= AE,∠BAD= α,∠CDE= β.
(1)如图1,当点D,E分别在线段BC,AC上时.
① 若∠ABC= 60°,∠ADE= 70°,则α= 20°,β= 10°.
② 求α,β之间的关系式.
解：设∠ABC=∠ACB=γ，∠ADE=∠AED=δ，
∵∠ADC=∠BAD+∠ABC=α+γ，∠ADC=∠ADE+∠CDE=δ+β，
∴α+γ=δ+β，即δ=α+γ-β，
∵∠AED=∠ACB+∠CDE=γ+β，即δ=γ+β，
∴α+γ-β=γ+β，得α=2β.
(2)如图2,当点D,E分别在线段CB,CA的延长线上时,求α,β之间的关系式.
解：设∠ABC=∠ACB=γ，∠ADE=∠AED=δ，
∵∠ADB=∠ACB-∠CAD=γ-∠CAD，∠BAD=α=∠BAC+∠CAD，∠BAC=180°-2γ，
∴∠CAD=α-(180°-2γ)，∠ADB=γ-[α-(180°-2γ)]=180°-α-γ，
∵∠ADE=∠ADB+∠CDE=180°-α-γ+β=δ，∠AED=∠CDE-∠ACB=β-γ=δ，
∴180°-α-γ+β=β-γ，得α=180°-2β.

答案：
(1)①20°;10°
②解：设∠ABC=∠ACB=γ，∠ADE=∠AED=δ，
∵∠ADC=∠BAD+∠ABC=α+γ，∠ADC=∠ADE+∠CDE=δ+β，
∴α+γ=δ+β，即δ=α+γ-β，
∵∠AED=∠ACB+∠CDE=γ+β，即δ=γ+β，
∴α+γ-β=γ+β，得α=2β.
(2)解：设∠ABC=∠ACB=γ，∠ADE=∠AED=δ，
∵∠ADB=∠ACB-∠CAD=γ-∠CAD，∠BAD=α=∠BAC+∠CAD，∠BAC=180°-2γ，
∴∠CAD=α-(180°-2γ)，∠ADB=γ-[α-(180°-2γ)]=180°-α-γ，
∵∠ADE=∠ADB+∠CDE=180°-α-γ+β=δ，∠AED=∠CDE-∠ACB=β-γ=δ，
∴180°-α-γ+β=β-γ，得α=180°-2β.