《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

20. (本题满分8分)如图,在△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠A= ∠D= 90°,AB= DC.
(1)求证：△ABE≌△DCE.
(2)若∠AEB= ∠ABC,则∠AEB= ______60°.

(1)证明：
∵∠A=∠D=90°，AB=DC，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE≌△DCE（AAS）

答案： 【解析】：
(1) 证明部分考查全等三角形的判定定理。已知∠A=∠D=90°，AB=DC，且对顶角∠AEB=∠DEC，因此可以利用“AAS”（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）来证明△ABE≌△DCE。
(2) 求解部分考查全等三角形的性质以及等腰三角形的性质。由于△ABE≌△DCE，所以EB=EC，进而推出∠EBC=∠ECB。再根据已知条件∠AEB=∠ABC，以及外角性质，可以设∠EBC=∠ECB=x，通过列方程求解。
【答案】：
(1)证明：
∵∠A=∠D=90°，AB=DC，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
(2)
∵△ABE≌△DCE，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
设∠EBC=∠ECB=x。
∵∠AEB=∠ABC，∠AEB为△BEC的外角，
∴∠AEB=∠EBC+∠ECB=2x，
∴∠ABC=2x，
根据三角形内角和定理，△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
即90°+2x+x=180°，
解得x=30°。
∴∠AEB=2x=60°。
故答案为60°。

21. (本题满分8分)如图,AD,AF分别是△ABC的中线和高,BE是△ABD的角平分线.
(1)若∠BED= 60°,∠BAD= 40°,求∠BAF的度数.
(2)若AB= 8,AC= 6,求中线AD长的取值范围.

答案： 【解析】：本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点。
（1）在$\triangle ABE$中，利用三角形外角的性质求出$\angle ABE$的度数，再利用角平分线的性质得到$\angle ABC$的度数，最后根据$\angle BAF$与$\angle C$互余求出$\angle BAF$的度数。
（2）延长$AD$至点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$，通过证明$\triangle ADC\cong\triangle EDB$，将$AB$、$AC$、$AD$转化到$\triangle ABE$中，再利用三角形三边关系求出$AD$的取值范围。
【答案】：
(1)
在$\triangle BED$中，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
可得$\angle BED = \angle ABE + \angle BAD$。
已知$\angle BED = 60^{\circ}$，$\angle BAD = 40^{\circ}$，
则$\angle ABE=\angle BED - \angle BAD = 60^{\circ} - 40^{\circ} = 20^{\circ}$。
因为$BE$是$\triangle ABD$的角平分线，
所以$\angle ABC = 2\angle ABE = 2×20^{\circ} = 40^{\circ}$。
因为$AF$是$\triangle ABC$的高，
所以$\angle AFB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABF$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
可得$\angle BAF = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$。
(2)
延长$AD$至点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，
所以$BD = CD$。
在$\triangle ADC$和$\triangle EDB$中，
$\begin{cases}AD = ED,\\\angle ADC = \angle EDB,\\CD = BD.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），
可得$\triangle ADC\cong\triangle EDB$。
所以$BE = AC = 6$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
可得$AB - BE \lt AE \lt AB + BE$，
即$8 - 6 \lt AE \lt 8 + 6$，
$2 \lt AE \lt 14$。
因为$AE = 2AD$，
所以$1 \lt AD \lt 7$。
综上，中线$AD$长的取值范围是$1 \lt AD \lt 7$。