《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

23. (本题满分8分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB= 90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF//AC交DE的延长线于点F,连接AD,CF.

(1)求证:AD⊥CF.
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.

答案：
(1)证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，∠ABC=45°.
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，∠BDE=45°.
∵BF//AC，∠ACB=90°，
∴∠CBF=90°，∠BFD=∠BDE=45°，
∴BF=BD.
∵D为BC中点，
∴CD=BD，
∴CD=BF.
在△ACD和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ACD=∠CBF=90°\\ CD=BF\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBF(SAS)，
∴∠CAD=∠BCF.
∵∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠ACG+∠CAD=90°，
∴∠AGC=90°，即AD⊥CF.
(2)△ACF是等腰三角形.
理由：
由
(1)知△ACD≌△CBF，
∴AD=CF.
∵BF//AC，∠ACB=90°，
∴∠CBF=90°.
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠ABD.
在△ABD和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=BF\\ ∠ABD=∠ABF\\ AB=AB\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ABF(SAS)，
∴AD=AF.
∵AD=CF，
∴AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形.

24. (本题满分10分)
(1)【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法.如图1,OP平分∠MON,A为OM上一点,过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,求证:AC= BC.
(2)【问题探究】
如图2,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 90°,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上,求证:CD= 2BE.
(3)【拓展延伸】
如图3,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 90°,点D在线段BC上,且∠BDE= 1/2∠ACB,BE⊥DE于点E,DE交AB于点F,请直接写出BE和DF之间的数量关系为______.

(1)证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOC=∠BOC。
∵AC⊥OP，∴∠ACO=∠BCO=90°。
在△ACO和△BCO中，
∠AOC=∠BOC，OC=OC，∠ACO=∠BCO，
∴△ACO≌△BCO(ASA)。∴AC=BC。
(2)证明：延长BE交CA延长线于点F。
∵CD平分∠ACB，∴∠FCE=∠BCE。
∵BE⊥CD，∴∠CEF=∠CEB=90°。
在△CEF和△CEB中，
∠FCE=∠BCE，CE=CE，∠CEF=∠CEB，
∴△CEF≌△CEB(ASA)。∴EF=BE，即BF=2BE。
∵∠BAC=90°，BE⊥CD，∴∠ACD+∠F=90°，∠ABF+∠F=90°。
∴∠ACD=∠ABF。
在△ACD和△ABF中，
∠ACD=∠ABF，AC=AB，∠CAD=∠BAF=90°，
∴△ACD≌△ABF(ASA)。∴CD=BF。∴CD=2BE。
(3)BE=1/2DF

答案：
(1)证明：
∵OP平分∠MON，
∴∠AOC=∠BOC。
∵AC⊥OP，
∴∠ACO=∠BCO=90°。
在△ACO和△BCO中，
∠AOC=∠BOC，OC=OC，∠ACO=∠BCO，
∴△ACO≌△BCO(ASA)。
∴AC=BC。
(2)证明：延长BE交CA延长线于点F。
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE=∠BCE。
∵BE⊥CD，
∴∠CEF=∠CEB=90°。
在△CEF和△CEB中，
∠FCE=∠BCE，CE=CE，∠CEF=∠CEB，
∴△CEF≌△CEB(ASA)。
∴EF=BE，即BF=2BE。
∵∠BAC=90°，BE⊥CD，
∴∠ACD+∠F=90°，∠ABF+∠F=90°。
∴∠ACD=∠ABF。
在△ACD和△ABF中，
∠ACD=∠ABF，AC=AB，∠CAD=∠BAF=90°，
∴△ACD≌△ABF(ASA)。
∴CD=BF。
∴CD=2BE。
(3)BE=1/2DF