《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

22. (本题满分10分)如图,AB= AC,BE= CF,DE⊥AB,交AB的延长线于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F,且DE= DF. 求证：DB= DC.

答案： 【解析】：本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等，进而得出对应边相等是解题的关键。
首先，由于$AB = AC$，根据等腰三角形的性质，等边对等角，所以$\angle ABC = \angle ACB$。
又因为$\angle ABC + \angle DBE = 180^{\circ}$，$\angle ACB + \angle DCF = 180^{\circ}$，所以$\angle DBE = \angle DCF$。
已知$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$\angle DEB = \angle DFC = 90^{\circ}$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle DEB = \angle DFC \\ \angle DBE = \angle DCF \\ BE = CF\end{cases}$
根据全等三角形的判定定理$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BDE\cong\triangle CDF$。
最后，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$DB = DC$。
【答案】：证明：
∵$AB = AC$，
∴$\angle ABC = \angle ACB$（等边对等角）。
∵$\angle ABC + \angle DBE = 180^{\circ}$，$\angle ACB + \angle DCF = 180^{\circ}$，
∴$\angle DBE = \angle DCF$。
∵$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
∴$\angle DEB = \angle DFC = 90^{\circ}$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}\angle DEB = \angle DFC \\ \angle DBE = \angle DCF \\ BE = CF\end{cases}$
∴$\triangle BDE\cong\triangle CDF(AAS)$。
∴$DB = DC$（全等三角形的对应边相等）。

23. (本题满分10分)如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点D,延长BD交AC于点E,点G,F分别在BD,BC上,连接DF,GF,∠A= 2∠BDF,GD= DE.
(1)当∠A= 80°时,求∠EDC的度数.
(2)求证：CF= FG+CE.

答案：
(1)解：
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=∠ABD=1/2∠ABC，∠DCB=∠ACD=1/2∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=50°，
∴∠BDC=180°-50°=130°，
∵∠A=2∠BDF，∠A=80°，
∴∠BDF=40°，
∵∠EDC=∠BDC-∠BDF=130°-40°=90°。
(2)证明：在BC上截取CH=CE，连接DH，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCE=∠DCH，
在△DCE和△DCH中，
CE=CH，∠DCE=∠DCH，CD=CD，
∴△DCE≌△DCH(SAS)，
∴DE=DH，∠DEC=∠DHC，
∵GD=DE，
∴GD=DH，
∵∠A=2∠BDF，∠A=180°-2(∠DBC+∠DCB)，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)，
∴∠A=2(180°-∠BDC)=2∠EDB，
∴∠BDF=∠EDB，
∵∠DEC=∠EDB+∠DBC，∠DHC=∠DHB+∠BHC=∠DHB+180°-∠DHC，
又
∵∠DEC=∠DHC，
∴∠EDB+∠DBC=∠DHB，
∵∠DGF=∠DBC+∠BDF=∠DBC+∠EDB=∠DHB，
在△DGF和△DHB中，
∠DGF=∠DHB，∠GDF=∠HDB，GD=HD，
∴△DGF≌△DHB(AAS)，
∴GF=BH，
∵BC=BH+CH=GF+CE，
即CF=FG+CE。