《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

23. (本题满分8分)如图,在△ABD与△BCD中,AB= AD,CB= CD,∠DAB= 60°,过点C作CE//BA,交AD于点E,交BD于点F,连接AC,交BD于点H.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由.
(2)求证:AC平分∠DAB.
(3)若AD= 12,CE= 8,求CF的长.

答案：
(1)△DEF是等边三角形。理由如下：
∵AB=AD，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°。
∵CE//BA，
∴∠EFD=∠ABD=60°，
∴∠DEF=180°-∠ADB-∠EFD=60°，
∴∠DEF=∠EDF=∠EFD=60°，
∴△DEF是等边三角形。
(2)证明：
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB。
(3)
∵△ABD是等边三角形，AD=12，
∴AD=BD=12，∠ADB=60°。
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF=EF。设DE=DF=EF=x，则AE=AD-DE=12-x。
∵CE//BA，
∴∠ACE=∠BAC。
∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴∠ACE=30°。
在△AEC中，∠AEC=180°-∠DAC-∠ACE=120°，∠AEF=180°-∠AEC=60°。
∵∠AEF=∠ADB=60°，∠EAF=∠DAH，
∴△AEF∽△ADH。
∵△ABD是等边三角形，AC平分∠DAB，
∴AH⊥BD，DH=BD/2=6，∠DAH=30°，
∴AH=AD·cos30°=6√3，DH=AD·sin30°=6。
∵△AEF∽△ADH，
∴AE/AD=EF/DH，即(12-x)/12=x/6，解得x=4。
∴EF=4，
∵CE=8，
∴CF=CE-EF=8-4=4。

24. (本题满分10分)已知AB//CD.
(1)如图1,当点E在AB,CD之间时,请写出∠B,∠BED与∠D之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,点E在AB的上方,且∠BED= 90°,过点B作直线FG交直线CD于点G,使∠ABE= ∠EBF,过点G作DE的平行线GH交EB的延长线于点H,求证:GH平分∠BGJ.

答案： 【解析】：
(1)本题考查平行线的性质，通过作辅助线，利用平行线的性质，可得出角之间的关系，具体分析如下：
过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以$EF// CD$。
由两直线平行，内错角相等，可得$\angle B = \angle BEF$，$\angle D = \angle DEF$。
因为$\angle BED=\angle BEF + \angle DEF$，所以$\angle BED = \angle B + \angle D$。
(2)本题考查平行线的性质、角平分线的定义以及对顶角的性质，通过已知条件结合这些知识点来证明$GH$平分$\angle BGJ$，具体分析如下：
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle ABG=\angle BGJ$。
由$GH// DE$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle HGB=\angle DEB = 90^{\circ}$。
因为$\angle ABE=\angle EBF$，即$BE$平分$\angle ABF$，又因为$AB// CD$，两直线平行，同位角相等，所以$\angle ABF=\angle BGJ$，那么$\angle EBG=\frac{1}{2}\angle BGJ$。
而$\angle BGH = 90^{\circ}-\angle EBG$，$\angle HGJ = 180^{\circ}-\angle HGB-\angle BGJ = 90^{\circ}-\angle EBG$，所以$\angle BGH=\angle HGJ$，即$GH$平分$\angle BGJ$。
【答案】：
(1)$\angle BED = \angle B + \angle D$。理由如下：
过点$E$作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$，
$\therefore EF// CD$。
$\therefore\angle B = \angle BEF$，$\angle D = \angle DEF$。
$\because\angle BED=\angle BEF + \angle DEF$，
$\therefore\angle BED = \angle B + \angle D$。
(2)证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore\angle ABG=\angle BGJ$。
$\because GH// DE$，
$\therefore\angle HGB=\angle DEB = 90^{\circ}$。
$\because\angle ABE=\angle EBF$，$AB// CD$，
$\therefore\angle ABF=\angle BGJ$，
$\therefore\angle EBG=\frac{1}{2}\angle BGJ$。
$\therefore\angle BGH = 90^{\circ}-\angle EBG$，$\angle HGJ = 180^{\circ}-\angle HGB-\angle BGJ = 90^{\circ}-\angle EBG$。
$\therefore\angle BGH=\angle HGJ$，即$GH$平分$\angle BGJ$。