《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

12. 如图,在△ABC中,AB= AC= 5,BC= 8,点D在AC上,点E在BC上,且BD恰好垂直平分AE于点F,则△BEF与△AEC的面积之比为$\frac{5}{12}$.

答案： 1. 首先，过$A$作$AH\perp BC$于$H$：
因为$AB = AC = 5$，$BC = 8$，根据等腰三角形三线合一性质，$BH=\frac{1}{2}BC = 4$。
由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB = 5$，$a = BH = 4$，求$AH$），可得$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$。
2. 然后，因为$BD$垂直平分$AE$：
所以$AB = BE = 5$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），$AF = EF$。
则$CE=BC - BE=8 - 5 = 3$。
3. 接着，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）：
对于$\triangle BEF$和$\triangle AEF$，因为$AF = EF$，且$\triangle BEF$与$\triangle AEF$以$BF$、$AF$为底时，高相同（过$E$作$EM\perp BD$，高为$EM$），所以$S_{\triangle BEF}=S_{\triangle AEF}$。
对于$\triangle AEC$和$\triangle AEB$，它们有相同的高$AH$（$AH\perp BC$），根据$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{\triangle AEB}=\frac{1}{2}BE\cdot AH$，$S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}CE\cdot AH$，所以$\frac{S_{\triangle AEB}}{S_{\triangle AEC}}=\frac{BE}{CE}$。
又因为$S_{\triangle AEB}=2S_{\triangle BEF}$。
设$S_{\triangle BEF}=x$，则$S_{\triangle AEB}=2x$。
已知$BE = 5$，$CE = 3$，由$\frac{S_{\triangle AEB}}{S_{\triangle AEC}}=\frac{BE}{CE}$，即$\frac{2x}{S_{\triangle AEC}}=\frac{5}{3}$，那么$S_{\triangle AEC}=\frac{6}{5}x$。
所以$\frac{S_{\triangle BEF}}{S_{\triangle AEC}}=\frac{x}{\frac{6}{5}x}=\frac{5}{12}$。
故答案为$\frac{5}{12}$。

13. 如图,在Rt△ABC中,∠A= 30°,∠B= 90°,AB= 12,D是斜边AC的中点,P是AB上一动点,连接PC,PD,则PC+PD的最小值为______12√3.

答案： 1. 首先作点$D$关于$AB$的对称点$D'$：
因为$D$是$AC$中点，根据对称性质，$AD = AD'$，$PD = PD'$，所以$PC + PD=PC + PD'$。
当$C$，$P$，$D'$三点共线时，$PC + PD'$的值最小，即$PC + PD$的最小值为$CD'$的长。
2. 然后求$AC$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 12$。
根据三角函数关系$\cos A=\frac{AB}{AC}$，又因为$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$AC=\frac{AB}{\cos A}$。
把$AB = 12$，$\cos A=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入可得$AC=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\sqrt{3}$。
或者根据$30^{\circ}$所对直角边是斜边的一半，设$BC=x$，则$AC = 2x$，由勾股定理$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，即$12^{2}+x^{2}=(2x)^{2}$，$144+x^{2}=4x^{2}$，$3x^{2}=144$，$x^{2}=48$，$x = 4\sqrt{3}$，$AC = 8\sqrt{3}$。
因为$D$是$AC$中点，所以$AD=\frac{1}{2}AC = 4\sqrt{3}$，又因为$AD = AD'$，所以$AD'=4\sqrt{3}$，$\angle CAD=\angle CAD' = 30^{\circ}$，则$\angle D'AC=60^{\circ}$。
3. 最后证明$\triangle ACD'$是等边三角形：
因为$AD'=AD = \frac{1}{2}AC$，$\angle D'AC = 60^{\circ}$，根据有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，所以$\triangle ACD'$是等边三角形。
所以$CD'=AC$。
所以$PC + PD$的最小值为$12\sqrt{3}$。
故答案为$12\sqrt{3}$。

14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则它的顶角的度数为60°或120°.

答案： 解：情况一：当等腰三角形为锐角三角形时，
顶角与高和另一腰的夹角互余，顶角=90°-30°=60°。
情况二：当等腰三角形为钝角三角形时，
顶角的外角与高和另一腰的夹角互余，顶角=180°-(90°-30°)=120°。
60°或120°

15. 如图,在△ABC中,AD为中线,DE和DF分别为△ADB和△ADC的高.若AB= 3,AC= 4,DF= 1.5,则DE= ______.

2

答案： 解：
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD。
∵DE和DF分别为△ADB和△ADC的高，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB·DE，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC·DF。
∵S_△ABD=S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}$AB·DE=$\frac{1}{2}$AC·DF。
∵AB=3，AC=4，DF=1.5，
∴$\frac{1}{2}$×3×DE=$\frac{1}{2}$×4×1.5，
解得DE=2。
故答案为：2。

16. 在△ABC中,∠B= 70°,过点A作一条直线,将△ABC分成两个新的三角形.若这两个三角形都是等腰三角形,则∠C= 20°或35°.

答案： 解：情况一：过点A的直线交BC于点D，使△ABD和△ACD为等腰三角形。
若AB=AD，则∠ADB=∠B=70°，∠BAD=40°，∠ADC=110°。
若AD=CD，则∠C=∠CAD=(180°-110°)/2=35°。
情况二：若AD=BD，则∠BAD=∠B=70°，∠ADB=40°，∠ADC=140°。
若AC=CD，则∠CAD=∠ADC=140°，不合题意（三角形内角和＞180°）。
若AD=AC，则∠C=(180°-140°)/2=20°。
情况三：若AB=BD，则∠ADB=(180°-70°)/2=55°，∠ADC=125°。
若AC=AD，则∠C=(180°-125°)/2=27.5°（非整数，舍去）；若AD=CD，则∠C=∠CAD=(180°-125°)/2=27.5°（同上）；若AC=CD，则∠CAD=125°，∠C=35°（与情况一重复）。
综上，∠C=20°或35°。
答案：20°或35°

17. (本题满分6分)如图,在方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C在小正方形的顶点上.

(1)画出△ABC中边BC上的高AD.
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE.
(3)直接写出△ABE的面积为______.3

答案：
(1) 作图略（过点A向BC作垂线，垂足为D）。
(2) 作图略（找出AC中点E，连接BE）。
(3) 3