《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

12. 如图,在等边三角形ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,CD,BE交于点O,则∠BOC= ______.

120°

答案： 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC。
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴BD=½AB，CE=½AC，
∴BD=CE。
在△BDC和△CEB中，
BD=CE，∠DBC=∠ECB，BC=CB，
∴△BDC≌△CEB（SAS），
∴∠DCB=∠EBC。
设∠DCB=∠EBC=x，
∵∠ABC=60°，即∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE=60°-x。
在△BEC中，∠BEC=180°-∠ECB-∠EBC=180°-60°-x=120°-x。
在△BOE中，∠BOE=180°-∠ABE-∠BEC=180°-(60°-x)-(120°-x)=2x。
∵∠BOC+∠BOE=180°，
又
∵CD，BE是等边三角形中线，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°。
120°

13. 如图,在△ABC中,EF是边AB的垂直平分线,与AB交于点D,BF= 10,CF= 2,则AC= 12.

答案： 【解析】：根据垂直平分线的性质可知，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。已知$EF$是边$AB$的垂直平分线，所以$AF = BF$。题目中给出$BF = 10$，因此$AF = 10$。又已知$CF = 2$，根据线段的和差关系，$AC = AF + CF$。将$AF = 10$，$CF = 2$代入可得$AC = 10 + 2 = 12$。
【答案】：$12$

14. 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AB= 8cm,AC= 6cm,则S_{△ABD}∶S_{△ACD}= 4:3.

答案： 【解析】：
本题可根据三角形面积公式以及角平分线的性质来求解$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}$的值。
步骤一：明确三角形面积公式
三角形的面积公式为$S = \frac{1}{2}ah$（其中$S$表示三角形面积，$a$表示三角形的底边长，$h$表示这条底边对应的高）。
步骤二：分别表示出$S_{\triangle ABD}$与$S_{\triangle ACD}$
设点$D$到$AB$的距离为$h_1$，点$D$到$AC$的距离为$h_2$。
根据三角形面积公式可得$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB× h_1$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC× h_2$。
步骤三：利用角平分线的性质得到$h_1$与$h_2$的关系
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点$D$到$AB$的距离等于点$D$到$AC$的距离，即$h_1 = h_2$。
步骤四：计算$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}$的值
将$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB× h_1$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC× h_2$代入$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}$可得：
$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB× h_1}{\frac{1}{2}AC× h_2}$
由于$h_1 = h_2$，则$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{AB}{AC}$。
已知$AB = 8cm$，$AC = 6cm$，所以$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，即$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=4:3$。
【答案】：$4:3$

15. 如图,在四边形ABCD中,∠B= 90°,AD= BC= 4,AB= 6.若AC平分∠BAD,则四边形ABCD的面积为20.

答案： 1. 首先，过点$C$作$CE\perp AD$交$AD$的延长线于点$E$：
因为$AC$平分$\angle BAD$，$\angle B = 90^{\circ}$（即$CB\perp AB$），$CE\perp AD$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$CE = CB$。
已知$BC = 4$，则$CE = 4$。
2. 然后，计算$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}$和$\triangle ADC$的面积$S_{\triangle ADC}$：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）。
对于$\triangle ABC$，$a = AB$，$h = BC$，已知$AB = 6$，$BC = 4$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC$。
代入数值可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×6×4 = 12$。
对于$\triangle ADC$，$a = AD$，$h = CE$，已知$AD = 4$，$CE = 4$，则$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}× AD× CE$。
代入数值可得$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}×4×4 = 8$。
3. 最后，计算四边形$ABCD$的面积$S_{ABCD}$：
因为$S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}$。
把$S_{\triangle ABC}=12$，$S_{\triangle ADC}=8$代入可得$S_{ABCD}=12 + 8=20$。
故四边形$ABCD$的面积为$20$。

16. 如图,AE是∠CAM的平分线,点B在射线AM上,DE是线段BC的垂直平分线,交AE于点E,EF⊥AM于点F.若∠ACB= 26°,∠CBE= 24°,则∠AED= ______20°.

答案： 解：连接CE。
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
∴∠ECB=∠CBE=24°。
∵∠ACB=26°，
∴∠ACE=∠ACB+∠ECB=26°+24°=50°。
∵AE平分∠CAM，设∠CAE=∠MAE=α。
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-26°-(180°-2α)=2α-26°。
∵EF⊥AM，ED⊥BC，CE=BE，
∴EF=ED（角平分线性质）。
在Rt△EFB和Rt△EDC中，
∵BE=CE，EF=ED，
∴Rt△EFB≌Rt△EDC（HL），
∴∠EBF=∠ECD=24°。
∵∠ABC+∠CBE+∠EBF=180°（平角定义），
∴(2α-26°)+24°+24°=180°，
解得α=84°。
在△ACE中，∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=180°-84°-50°=46°。
∵∠DEC=90°-∠ECD=90°-24°=66°，
∴∠AED=∠DEC-∠AEC=66°-46°=20°。
20°

17. (本题满分6分)如图,在△ABC中,∠C= 90°,用直尺和圆规作边BC的垂直平分线l,交斜边AB于点O.
(1)猜想:O是线段AB的什么特殊点？证明你的猜想.
(2)点O在线段AC的垂直平分线上吗？请说明理由.
(3)结合(1)(2),你有何发现？

答案：
(1)O是线段AB的中点。
证明：连接OC，设l交BC于点D。
∵l是BC的垂直平分线，
∴OC=OB，CD=BD，∠ODC=∠ODB=90°。
∵∠ACB=90°，
∴OD//AC。
∵CD=BD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AO=OB，即O是AB中点。
(2)点O在线段AC的垂直平分线上。
理由：
∵O是AB中点，∠ACB=90°，
∴OA=OC。
∴点O在线段AC的垂直平分线上。
(3)直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等，且该中点在两条直角边的垂直平分线上。