《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

20. (本题满分8分)如图,$\triangle ABC$经过平移后,使点A与点$A'(-1,4)$重合.
(1) 画出平移后的$\triangle A'B'C'$.
(2) 求出$\triangle A'B'C'$的面积.
(3) $\triangle ABC内有一点P(a,b)$,经过平移后的对应点$P'$的坐标为(a-3,b-2).
(4) 若连接$AA',CC'$,则这两条线段之间的关系是平行且相等.

(1) 解：由图可知，点A的坐标为(2,6)，点A'的坐标为(-1,4)，平移规律为向左平移3个单位，向下平移2个单位。点B的坐标为(-1,1)，平移后B'的坐标为(-4,-1)；点C的坐标为(4,3)，平移后C'的坐标为(1,1)。连接A'B'、B'C'、C'A'，即得△A'B'C'。
(2) 解：使用割补法，以△ABC为例，以点(2,1)、(4,1)、(4,6)、(2,6)为顶点构造矩形，矩形面积为3×5=15，减去三个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×3×2=3$，$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×1×5=2.5$，△ABC面积为15-3-3-2.5=6.5，即$\frac{13}{2}$。因为平移不改变图形面积，所以△A'B'C'的面积为$\frac{13}{2}$。

答案：
(1) 解：由图可知，点A的坐标为(2,6)，点A'的坐标为(-1,4)，平移规律为向左平移3个单位，向下平移2个单位。点B的坐标为(-1,1)，平移后B'的坐标为(-4,-1)；点C的坐标为(4,3)，平移后C'的坐标为(1,1)。连接A'B'、B'C'、C'A'，即得△A'B'C'。
(2) 解：使用割补法，以△ABC为例，以点(2,1)、(4,1)、(4,6)、(2,6)为顶点构造矩形，矩形面积为3×5=15，减去三个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×3×2=3$，$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×1×5=2.5$，△ABC面积为15-3-3-2.5=6.5，即$\frac{13}{2}$。因为平移不改变图形面积，所以△A'B'C'的面积为$\frac{13}{2}$。
(3) (a-3,b-2)
(4) 平行且相等

21. (本题满分8分)在平面直角坐标系xOy中,对于P,Q两点给出如下定义:若点P到x轴、y轴的距离中的最大值等于点Q到x轴、y轴的距离中的最大值,则称P,Q两点为“等距点”.如图中的P,Q两点即为“等距点”.
(1) 已知点A的坐标为$(-3,1)$,在点$E(0,3),F(3,-3),G(2,-5)$中,为点A的“等距点”的是______E,F.
(2) 若$T_1(-1,-k-3),T_2(4,4k-3)$两点为“等距点”,求k的值.
解：点A(-3,1)到x轴、y轴距离中的最大值为3。
T₁(-1,-k-3)到x轴、y轴距离中的最大值为max{1,| -k-3 |}，
T₂(4,4k-3)到x轴、y轴距离中的最大值为max{4,| 4k-3 |}。
∵T₁,T₂为“等距点”，
∴max{1,| -k-3 |}=max{4,| 4k-3 |}。
分情况讨论：
①若| -k-3 |≥1且| 4k-3 |≥4，
则| -k-3 |=| 4k-3 |，
即|k+3|=|4k-3|，
k+3=4k-3或k+3=-(4k-3)，
解得k=2或k=0。
当k=2时，| -k-3 |=5，| 4k-3 |=5，max{1,5}=max{4,5}=5，成立；
当k=0时，| -k-3 |=3，| 4k-3 |=3，max{1,3}=3，max{4,3}=4，3≠4，舍去。
②若| -k-3 |≥1且| 4k-3 |＜4，
则| -k-3 |=4，
k+3=±4，解得k=1或k=-7。
当k=1时，| 4k-3 |=1＜4，max{1,4}=max{4,1}=4，成立；
当k=-7时，| 4k-3 |=31＞4，不满足| 4k-3 |＜4，舍去。
③若| -k-3 |＜1且| 4k-3 |≥4，
则1=| 4k-3 |，
4k-3=±1，解得k=1或k=0.5。
当k=1时，| -k-3 |=4＞1，不满足| -k-3 |＜1；
当k=0.5时，| -k-3 |=3.5＞1，不满足| -k-3 |＜1，均舍去。
④若| -k-3 |＜1且| 4k-3 |＜4，
则1=4，不成立。
综上，k=2或k=1。

答案：
(1) E,F
(2) 解：点A(-3,1)到x轴、y轴距离中的最大值为3。
T₁(-1,-k-3)到x轴、y轴距离中的最大值为max{1,| -k-3 |}，
T₂(4,4k-3)到x轴、y轴距离中的最大值为max{4,| 4k-3 |}。
∵T₁,T₂为“等距点”，
∴max{1,| -k-3 |}=max{4,| 4k-3 |}。
分情况讨论：
①若| -k-3 |≥1且| 4k-3 |≥4，
则| -k-3 |=| 4k-3 |，
即|k+3|=|4k-3|，
k+3=4k-3或k+3=-(4k-3)，
解得k=2或k=0。
当k=2时，| -k-3 |=5，| 4k-3 |=5，max{1,5}=max{4,5}=5，成立；
当k=0时，| -k-3 |=3，| 4k-3 |=3，max{1,3}=3，max{4,3}=4，3≠4，舍去。
②若| -k-3 |≥1且| 4k-3 |＜4，
则| -k-3 |=4，
k+3=±4，解得k=1或k=-7。
当k=1时，| 4k-3 |=1＜4，max{1,4}=max{4,1}=4，成立；
当k=-7时，| 4k-3 |=31＞4，不满足| 4k-3 |＜4，舍去。
③若| -k-3 |＜1且| 4k-3 |≥4，
则1=| 4k-3 |，
4k-3=±1，解得k=1或k=0.5。
当k=1时，| -k-3 |=4＞1，不满足| -k-3 |＜1；
当k=0.5时，| -k-3 |=3.5＞1，不满足| -k-3 |＜1，均舍去。
④若| -k-3 |＜1且| 4k-3 |＜4，
则1=4，不成立。
综上，k=2或k=1。