《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

18. (本题满分6分)已知一次函数$y= \frac{1}{2}x-2$.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中作出其图象,并写出图象与坐标轴的交点坐标.
(2)根据图象,写出当x在什么范围内时,$y＞0$？当x在什么范围内时,$y＜0$？
(3)求其图象与坐标轴所围成的三角形的面积.

答案： 【解析】：本题主要考查一次函数的图象绘制、函数与坐标轴交点坐标的求解、根据函数图象判断函数值正负的取值范围以及利用交点坐标求图象与坐标轴围成三角形的面积。
(1)要作出一次函数$y = \frac{1}{2}x - 2$的图象，需先求出它与坐标轴的交点坐标。
求与$x$轴的交点坐标：令$y = 0$，即$\frac{1}{2}x - 2 = 0$，解方程可得$x$的值，进而得到与$x$轴交点坐标。
求与$y$轴的交点坐标：令$x = 0$，代入函数$y = \frac{1}{2}x - 2$，可求出$y$的值，得到与$y$轴交点坐标。
然后根据这两个交点坐标在平面直角坐标系中画出函数图象。
(2)观察所画函数图象，根据函数图象在$x$轴上方时$y\gt0$，在$x$轴下方时$y\lt0$，确定$x$的取值范围。
(3)由
(1)已求出函数与坐标轴的交点坐标，这两个交点与原点构成一个直角三角形，利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可求出图象与坐标轴所围成三角形的面积。
【答案】：
(1)
求与$x$轴的交点坐标：
令$y = 0$，则$\frac{1}{2}x - 2 = 0$，
移项可得$\frac{1}{2}x = 2$，
两边同时乘以$2$，解得$x = 4$，
所以与$x$轴的交点坐标为$(4,0)$。
求与$y$轴的交点坐标：
令$x = 0$，代入$y = \frac{1}{2}x - 2$，可得$y = \frac{1}{2}×0 - 2 = - 2$，
所以与$y$轴的交点坐标为$(0,-2)$。
图象：在平面直角坐标系中，过点$(4,0)$和$(0,-2)$画直线，图略。
(2)
观察图象可知，当$x\gt4$时，函数图象在$x$轴上方，$y\gt0$；当$x\lt4$时，函数图象在$x$轴下方，$y\lt0$。
(3)
由
(1)可知，函数图象与$x$轴交点坐标为$(4,0)$，与$y$轴交点坐标为$(0,-2)$，则所围成的三角形以$\vert4\vert = 4$为底，$\vert - 2\vert = 2$为高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S=\frac{1}{2}×4×2 = 4$。
所以，图象与坐标轴所围成的三角形的面积为$4$。

19. (本题满分6分)已知关于x的一次函数$y= mx+2m-10(m\neq0)$.
(1)当m为何值时,这个函数为正比例函数？
(2)当m在什么范围内时,这个函数y的值随着x值的增大而减小？
(3)当m为何值时,这个函数的图象与直线$y= x-4$的交点在y轴上？

答案： 【解析】：
本题主要考查了一次函数的性质、正比例函数的定义以及两直线交点的求解。
(1) 对于正比例函数，其形式为$y=kx$，其中$k \neq 0$。
因此，我们需要将给定的函数$y= mx+2m-10$转化为正比例函数的形式。
即，需要满足$2m-10=0$，从而得到$m$的取值。
(2) 一次函数$y=mx+b$的增减性取决于系数$m$。
当$m＞0$时，函数递增；当$m＜0$时，函数递减。
所以，我们需要找出使函数递减的$m$的取值范围。
(3) 要找出函数$y= mx+2m-10$与直线$y= x-4$在$y$轴上的交点，
我们首先需要找出直线$y= x-4$与$y$轴的交点坐标，然后代入函数$y= mx+2m-10$中求解$m$。
【答案】：
(1)解：
为了使$y= mx+2m-10$成为正比例函数，我们需要$2m-10=0$，
解得$m=5$，
故当$m=5$时，这个函数为正比例函数。
(2)解：
为了使函数$y$的值随着$x$的增大而减小，我们需要$m＜0$，
故当$m＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3)解：
首先，直线$y= x-4$与$y$轴的交点是当$x=0$时的$y$值，即$y=-4$。
然后，我们将这个点$(0, -4)$代入函数$y= mx+2m-10$，得到$-4=2m-10$，
解得$m=3$，
故当$m=3$时，这个函数的图象与直线$y= x-4$的交点在$y$轴上。

20. (本题满分8分)已知y与$x+3$成正比例,且当$x= -2$时,$y= 4$.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)若点(a,-2)在这个函数的图象上,求a的值.

答案： 【解析】：
本题主要考查一次函数的表达式求解以及一次函数图象上点的坐标特征。
(1)根据正比例关系，我们可以设$y=k(x+3)$，其中$k$是比例系数。
利用已知条件$x=-2$时，$y=4$，代入上述表达式，得到$4=k(-2+3)$，
解得$k=4$。
所以，$y$关于$x$的函数表达式为$y=4(x+3)$，即$y=4x+12$。
(2)由于点$(a,-2)$在这个函数的图象上，那么它满足函数表达式$y=4x+12$。
将$y=-2$代入表达式，得到$-2=4a+12$，
移项并化简得$4a=-14$，
解得$a=-\frac{7}{2}$。
【答案】：
(1)$y=4x+12$
(2)$a=-\frac{7}{2}$