《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

21.(本题满分8分)如图,一次函数$y = kx + b(k \neq 0)的图象经过A(-2, -2)$,$B(1, 4)$两点,并且交x轴于点C,交y轴于点D.
(1)求一次函数的表达式.
(2)点P在x轴上,当$\triangle CBP$的面积为6时,请求出点P的坐标.

答案： 【解析】：
(1)要求一次函数的表达式，我们可以利用一次函数的标准形式$y = kx + b$，以及已知的两个点$A(-2, -2)$和$B(1, 4)$，通过解线性方程组来求解k和b。
(2)对于点P在x轴上，且$\triangle CBP$的面积为6，我们可以先通过一次函数的表达式求出与x轴的交点C，然后利用三角形面积公式$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$，结合点到直线的距离公式，求出满足条件的点P的坐标。
【答案】：
(1)解：
由题意，函数$y = kx + b$经过点$A(-2, -2)$和$B(1, 4)$，
代入得：
$\begin{cases}-2k + b = -2, \\k + b = 4.\end{cases}$
解这个方程组，我们得到：
$\begin{cases}k = 2, \\b = 2.\end{cases}$
因此，一次函数的表达式为$y = 2x + 2$。
(2)解：
首先，求出一次函数$y = 2x + 2$与x轴的交点C。
令$y = 0$，解得$x = -1$，所以点C的坐标为$(-1, 0)$。
设点P的坐标为$(x, 0)$。
由于$\triangle CBP$的面积为6，且点B的纵坐标为4（即高为4），我们可以利用三角形面积公式：
$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$
其中，底为$|x - (-1)| = |x + 1|$，高为4。
因此，有：
$\frac{1}{2} × |x + 1| × 4 = 6$
解得：
$|x + 1| = 3$
所以，$x + 1 = 3$ 或 $x + 1 = -3$，
解得$x = 2$ 或 $x = -4$。
因此，点P的坐标为$(2, 0)$或$(-4, 0)$。

22.(本题满分8分)如图,A,B分别是x轴上位于原点左、右两侧的点,点$M(2, p)$在第一象限,直线MA交y轴于点$C(0, 3)$,直线MB交y轴于点D,$S_{\triangle AOM} = 9$.
(1)求点A的坐标及p的值.
(2)若$S_{\triangle BOM} = S_{\triangle DOM}$,求直线BD的函数表达式.

答案： 【解析】：本题主要考查了一次函数的相关知识，包括直线与坐标轴的交点、三角形面积的计算以及一次函数表达式的求解。
（1）已知$C(0,3)$，$M(2,p)$，
设直线$MC$的表达式为$y = kx + b$，
将点$C$，$M$的坐标代入可得：$\begin{cases}b = 3, \\2k + b = p.\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=\frac{p - 3}{2}, \\b = 3.\end{cases}$
所以直线$MC$的表达式为$y=\frac{p - 3}{2}x + 3$。
令$y = 0$，可得$0=\frac{p - 3}{2}x + 3$，
解得$x=\frac{-6}{p - 3}$，
所以点$A$的坐标为$(\frac{-6}{p - 3},0)$。
因为点$M$在第一象限，且$S_{\triangle AOM}=9$，
$S_{\triangle AOM}=\frac{1}{2}×|OA|× p = 9$，
$|OA|=\frac{-6}{p - 3}$（因为点$A$在原点左侧），
所以$\frac{1}{2}×\frac{-6}{p - 3}× p = 9$，
即$\frac{-3p}{p - 3}=9$，
两边同时乘以$p - 3$得：$-3p = 9(p - 3)$，
展开得：$-3p = 9p - 27$，
移项得：$-3p - 9p=-27$，
合并同类项得：$-12p=-27$，
解得$p = \frac{9}{4}$。
将$p = \frac{9}{4}$代入$A$点坐标表达式$\frac{-6}{p - 3}$，
可得$A$点坐标为$(-4,0)$。
（2）设点$B$的坐标为$(m,0)(m\gt0)$，
因为$S_{\triangle BOM}=S_{\triangle DOM}$，
$S_{\triangle BOM}=\frac{1}{2}×|OB|× p=\frac{1}{2}× m×\frac{9}{4}$，
$S_{\triangle DOM}=\frac{1}{2}×|OD|×|x_M|$，
设直线$BD$的表达式为$y = ax + c$，
因为直线$BD$过点$B(m,0)$和$D(0,n)$（设$D$点纵坐标为$n$），
则$\begin{cases}am + c = 0, \\c = n.\end{cases}$
解得$a=-\frac{n}{m}$，
所以直线$BD$的表达式为$y = -\frac{n}{m}x + n$。
又因为$M(2,\frac{9}{4})$在直线$BD$上，
所以$\frac{9}{4}=-\frac{n}{m}×2 + n$，
即$\frac{9}{4}=n(1 - \frac{2}{m})$ ①。
因为$S_{\triangle BOM}=S_{\triangle DOM}$，
$\frac{1}{2}× m×\frac{9}{4}=\frac{1}{2}×|n|×2$，
即$\frac{9}{8}m = |n|$ ②。
由①②联立求解，因为$m\gt0$，
由②得$n=\frac{9}{8}m$，
代入①得：$\frac{9}{4}=\frac{9}{8}m(1 - \frac{2}{m})$，
两边同时除以$\frac{9}{8}$得：$2 = m(1 - \frac{2}{m})$，
展开得：$2 = m - 2$，
解得$m = 4$。
将$m = 4$代入$n=\frac{9}{8}m$，
得$n=\frac{9}{2}$。
所以直线$BD$过点$B(4,0)$和$D(0,\frac{9}{2})$，
设直线$BD$的表达式为$y = kx + b$，
则$\begin{cases}4k + b = 0, \\b = \frac{9}{2}.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{9}{8}, \\b = \frac{9}{2}.\end{cases}$
所以直线$BD$的函数表达式为$y = -\frac{9}{8}x+\frac{9}{2}$。
【答案】：
(1) $A(-4,0)$，$p = \frac{9}{4}$；
(2) $y = -\frac{9}{8}x+\frac{9}{2}$。