《2025年多维互动提优课堂八年级数学上册苏科版提升版》

21. (本题满分12分)某公司销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台利润为400元,B型电脑每台利润为500元.该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑$x$台,这100台电脑的销售总利润为$y$元.
(1)求$y$关于x的函数表达式.
(2)该公司购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调$a(0 ＜ a ＜ 200)$元,若该公司保持这两种型号电脑的售价不变,并且无论该公司如何进货,这100台电脑的销售总利润不变,求$a$的值.

答案： 【解析】：
(1)要求$y$关于$x$的函数表达式，首先需要明确总利润的计算方式。总利润$y$是A型电脑利润与B型电脑利润之和。A型电脑每台利润为400元，购进$x$台；B型电脑每台利润为500元，购进$100-x$台。因此，总利润$y$可以表示为：
$y = 400x + 500(100 - x)$
化简得：
$y = -100x + 50000$
(2)要求销售总利润最大的进货量，需要考虑B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍这一条件，即$100 - x \leq 2x$，解得$x \geq 33\frac{1}{3}$。由于$x$必须是整数，且$y = -100x + 50000$是一个关于$x$的递减函数（因为系数-100小于0），所以当$x$取最小值34时，$y$取得最大值。此时，B型电脑进货量为$100 - 34 = 66$台。将$x = 34$代入$y$的表达式，得最大利润为46600元。
(3)要求出使得销售总利润不变的$a$值，需要考虑A型电脑出厂价下调$a$元后，总利润仍然保持不变的情况。此时，A型电脑每台利润变为$400 + a$元。设新的总利润为$W$元，则：
$W = (400 + a)x + 500(100 - x)$
化简得：
$W = (a - 100)x + 50000$
由于要使$W$与$x$无关，即$W$为常数，那么$x$的系数必须为0，即$a - 100 = 0$，解得$a = 100$。
【答案】：
(1)$y = - 100x + 50000$；
(2)该公司购进A型电脑34台、B型电脑66台时，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
(3)$a = 100$。

22. (本题满分12分)如图,直线$y_{1}= kx - 2(k\neq0)$与y轴交于点A,直线$y_{2}= 2x + 8$与x轴交于点B,直线$y_{1}与直线y_{2}交于点C(-2,4)$,连接AB.
(1)关于x,y的方程组$\begin{cases} kx - y= 2 \\ 2x - y= -8 \end{cases} $的解是$\begin{cases} x=-2 \\ y=4 \end{cases}$.
(2)求$\triangle ABC$的面积.解：∵点$C(-2,4)$在直线$y_{1}=kx-2$上，∴$-2k - 2 = 4$，解得$k=-3$，∴直线$y_{1}=-3x - 2$，令$x=0$，则$y=-2$，∴$A(0,-2)$，对于$y_{2}=2x + 8$，令$y=0$，则$2x + 8=0$，解得$x=-4$，∴$B(-4,0)$，过点$C$作$CD\perp x$轴于点$D$，则$D(-2,0)$，$CD=4$，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ABD}$$=\frac{1}{2}× BD× CD+\frac{1}{2}× BD× OA$$BD=|-2 - (-4)|=2$，$OA=2$，$=\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×2×2=4 + 2=6$
(3)若在x轴上存在点P(点B与点P不重合),使得$\triangle PAC的面积与\triangle ABC$的面积相等,请直接写出点P的坐标.$(2,0)$

答案：
(1) $\begin{cases} x=-2 \\ y=4 \end{cases}$
(2) 解：
∵点$C(-2,4)$在直线$y_{1}=kx-2$上，
∴$-2k - 2 = 4$，解得$k=-3$，
∴直线$y_{1}=-3x - 2$，
令$x=0$，则$y=-2$，
∴$A(0,-2)$，
对于$y_{2}=2x + 8$，令$y=0$，则$2x + 8=0$，解得$x=-4$，
∴$B(-4,0)$，
过点$C$作$CD\perp x$轴于点$D$，则$D(-2,0)$，$CD=4$，
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ABD}$
$=\frac{1}{2}× BD× CD+\frac{1}{2}× BD× OA$
$BD=|-2 - (-4)|=2$，$OA=2$，
$=\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×2×2=4 + 2=6$
(3) $(2,0)$